Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
146
Integrální počet
Příklad 3.10. Vypočtěme integrály
a)
Z
xe
x dx,
b)
Z
ln x
x
dx.
Řešení.
a)
Z
xe
x dx =
u = x, u0 = 1
v0 = ex, v = ex
= xe
x −
Z
e
x dx = xex − ex + c,
b)
Z
ln x
x
dx =
u = ln x u0 =
1
x
v0 =
1
x
v = ln x
= ln
2 x −
Z
ln x
x
dx.
Zdánlivě jsme si nepomohli. Uvedená rovnost je však rovnicí pro neznámou funkci
J =
Z
ln x
x
dx
a má tvar
J = ln
2 x − J,
tedy
J =
1
2
ln
2 x,
x ∈ (0, ∞),
je jednou primitivní funkcí.
O správnosti výpočtů se můžeme přesvědčit derivací.
Příklad 3.11. Pomocí metody per partes vypočítáme také integrál
R ln x dx.
Z
ln x dx =
u = ln x u0 =
1
x
v0 = 1
v = x
= x ln x −
Z
1
x
x dx = x ln x − x + c.
Metoda substituce
Je-li F primitivní funkce k funkci f na nějakém intervalu I, můžeme integrál
R f (t) dt
napsat ve tvaru
Z
f (t) dt =
Z
F
0(t) dt =
Z
dF (t),
kde v posledním integrálu vystupuje diferenciál primitivní funkce F .
Předpokládejme, že t = g(x). Z věty o derivaci složené funkce (F (g(x)))
0 = F 0(g(x)) g0(x)
dostaneme pro diferenciál dF (t)
dF (t) = dF (g(x)) = F
0(g(x)) g0(x) dx = f(g(x)) g0(x) dx
a odtud plyne
Z
f (t) dt =
Z
f (g(x)) g
0(x) dx,
kde
t = g(x).
To je vztah pro nejdůležitější obecnou metodu pro integraci – metodu substituce.
Věta 3.12.
1. Jestliže funkce f ◦ g, g0 jsou definovány na nějakém intervalu I a
R f (t) dt = F (t) + c, potom na tomto intervalu platí
Z
f (g(x)) g
0(x) dx = F (g(x)) + c,
3.2 Integrační metody
147
2. jestliže navíc existuje g−1 a
R f (g(t)) g0(t) dt = G(t) + c, potom
Z
f (x) dx = G(g
−1(x)) + c.
Princip popsaný ve větě se nazývá metoda substituce.
Popišme oba postupy podrobněji: