Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

p

1 +

√

3, asymptoty y = 0,

h) Df = R, roste na (−∞, −1) ∪ (1, ∞), klesá na x ∈ (−1, 1), extrémy v x = −1 max. 2, x = 1 min. −2, konvexní

na (0, ∞), konkávní na (−∞, 0), inflexe v x = 0, nemá asymptoty,

i) Df = R\{1}, roste na (−3, 1), klesá na (−∞, −3)∪(1, ∞), extrémy v x = −3 min. −

1
8

, konvexní na (−5, 1)∪(1, ∞),

konkávní na (−∞, −5), inflexe x = −5, asymptoty y = 0, x = 1,

lim

x→1−

f (x) = ∞, lim

x→1+

f (x) = ∞,

j) Df = (0, 1) ∪ (1, ∞), roste na (e, ∞), klesá na (0, 1) ∪ (1, e), extrémy v x = e min.

e
2

, konvexní na (1, e2), konkávní

na (0, 1) ∪ (e2, ∞), inflexe v x = e2, asymptoty x = 1,

lim

x→1−

f (x) = −∞, lim

x→1+

f (x) = ∞.

141

3

Integrální počet

3.1

Neurčitý integrál

Zavedení pojmu derivace jsme motivovali např. důležitým požadavkem definovat okamži-
tou rychlost pohybu bodu po přímce. Existuje přirozeně i požadavek „opačnýÿ, tj. nalézt
zákon dráhy pohybu bodu po přímce, je-li dána jeho okamžitá rychlost jako funkce času.

Příklad 3.1. Je dána okamžitá rychlost v pohybu bodu po přímce (ose) x rovnicí v(t) =
= 2t + 1, t ∈ h0, ∞). Najděme zákon dráhy pohybu, je-li známo, že v čase t = 0 měl bod
polohu x = x0.

Označíme-li x(t) polohu bodu v okamžiku t, pak v(t) =

d x(t)

dt

. Hledáme tedy funkci x=x(t),

pro niž platí

dx

dt

= 2t + 1,

x(0) = x0.

Je vidět, že první podmínce vyhovuje nekonečně mnoho funkcí

x = t

2 + t + C,

kde C je libovolná konstanta. Funkci, která splňuje i druhou podmínku (říkáme jí též
počáteční podmínka), najdeme z předchozího vztahu dosazením dané podmínky pro t =
= 0, x = x0. Dostaneme x0 = C. Pro hledaný zákon dráhy tedy platí