Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Postupujeme obvykle podle tohoto schematu:
I.
(a) Definiční obor Df funkce f.
(b) Body nespojitosti; intervaly spojitosti.
(c) Průsečíky se souřadnými osami.
(d) Symetrie grafu funkce (sudá, lichá), periodičnost funkce.
(e) Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a svislé asymptoty.
(f) Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí.
II. Intervaly monotónnosti; body extrému a extrémy.
III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti; inflexní body.
Příklad 2.98. Vyšetříme průběh funkcí
a)
f (x) =
x3
4−x2
b)
f (x) =
3
√
x2 − x
c) f (x) = x e1/x
Řešení.
a)
I. (a) f (x) =
x3
4−x2 : Definiční obor Df = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞).
(b) Body nespojitosti; intervaly spojitosti – ve svém definičním oboru je funkce
spojitá.
(c) f (x) = 0 pro x = 0.
(d) Funkce je lichá: f (−x) =
(−x)3
4−(−x)2 = −
x3
4−x2 = −f (x).
Graf funkce f je tedy souměrný podle počátku a budeme ji vyšetřovat
pouze na množině h0, 2) ∪ (2, ∞).
(e) Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a vertikální asymptoty:
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x3
x + 2
·
1
2 − x
= 2 lim
x→2−
1
2 − x
=
2 ·
1
0+
= ∞,
analogicky
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
x3
x + 2
·
1
2 − x
= 2 lim
x→2+
1
2 − x
=
2 ·
1
0−
= −∞.
Funkce f tedy má v bodě x = 2 (a také v bodě x = −2) svislou asymptotu.
134
Diferenciální počet
(f) Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí:
a = lim
x→∞
f (x)
x
= lim
x→∞
x2
4−x2 = lim
x→∞
1
4
x2
−1
= −1,
b = lim
x→∞
(f (x) − a x) = lim
x→∞
x3
4−x2 + x
= lim
x→∞
4x
4−x2 = |L’H pravidlo| = 0.
Šikmá asymptota pro x → ∞ je tedy přímka y = −x.
II. Intervaly monotónnosti; body extrému a extrémy. Pro x ≥ 0 platí:
f
0(x) =
3x2(4 − x2) − (−2x)x3