Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

b) f (−1) = 1, f (2) = 5, f 0(x) < 0 pro x < −1 ∨ x > 2, f 0(x) > 0 pro − 1 < x <

< 2, f 0(−1) = 0, f 0(0) neexistuje,

c) f (3) = 0, f 0(x) < 0 pro x < 0 ∨ x > 3, f 0(x) > 0 pro 0 < x < 3, f 0(3) =

= 0, f (0) a f 0(0) neexistuje,

d) f (1) = 0, lim

x→∞

f (x) = 2, f 0(x) < 0 pro x < 1, f 0(x) > 0 pro x > 1, f 0(1) = 0.

128

Diferenciální počet

Cvičení

1. Najděte všechny intervaly největší délky, na kterých jsou následující funkce ryze

monotonní:

a)

f (x) = x3 − x,

b)

f (x) = x5 − 15x3 + 3,

c)

f (x) =

x

1+x2 ,

d)

f (x) = |x + 1| + |x − 1|,

e)

f (x) =

4
x +

1

1−x ,

f ) f (x) = x +

x

x2−1 ,

g)

f (x) =

(x−1)3
(x+1)2 ,

h) f (x) = x2 − 1 + |x2 − 1|,

i)

f (x) = x2/3 − (x2 − 1)1/3, j)

f x =

x−3

√

1+x2

,

k)

f (x) = sin x + tg x + 2x,

l)

f (x) = cos x +

1
2 cos 2x,

m) f (x) = ln

√

1 + x2,

n) f (x) = 1 +

1

x

x .

2. Stavovou rovnici reálného plynu je možno popsat van der Waalsovou rovnicí

p =

RT

V − b

−

a

v2

kde p je tlak, V objem plynu, R plynová konstanta, T teplota v K a a, b jsou
konstanty charakterizující příslušný plyn. Dokažte, že pro teplotu T > Tk, kde Tk je
kritická teplota Tk = 8a/27bR, je tlak klesající funkcí objemu V .

3. Najděte lokální extrémy následujících funkcí:

a)

f (x) = x2(x − 6),

b)

f (x) = 4x3 − 18x2 + 27x − 7,

c)

f (x) = −x4 − 2x2 + 3, d)

f (x) = x(x − 1)2(x − 2)3,

e)

f (x) = x −

1

x ,

f ) f (x) =

x2

2 +

8

x3 ,

g)

f (x) = x +