Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

• v formalizaci úlohy, tj. v sestavení účelové funkce a nalezení oboru, na kterém

se optimum hledá,

• v nalezení (absolutních) extrémů účelové funkce na nalezeném oboru.

Otázky a úkoly

1. Kdy řekneme, že funkce f má v bodě x0 lokální maximum (minimum)?

2. Co je to stacionární bod funkce?

3. Jaká je nutná podmínka pro lokální extrém?

2.6 Optimalizace

127

4. Jak zjistíme, zda ve stacionárním bodě funkce nastane extrém?

5. Jak zjistíme, zda v bodě, ve kterém funkce nemá derivaci, nastane extrém?

6. Co jsou to absolutní (globální) extrémy funkce na intervalu?

7. Načrtněte grafy funkcí, pro které platí:

a) absolutní maximum funkce f na intervalu h−2, 2i je rovno 3 a absolutní mini-

mum neexistuje,

b) absolutní maximum funkce f na intervalu (−2, 2) neexistuje a absolutní mini-

mum je rovno 2,

c) absolutní maximum funkce f na intervalu (−2, 2) je rovno 4 a absolutní mini-

mum je rovno 2,

d) absolutní maximum funkce f na intervalu h−2, 2i neexistuje a absolutní mini-

mum neexistuje;

8. Musí platit,že mezi libovolnými dvěma lokálními maximy funkce (body, ve kterých

nastane lokální maximum funkce) leží vždy bod, ve kterém má tato funkce lokální
minimum? Jestliže ne, uveďte protipříklad a podmínky, za kterých tvrzení platí.

9. Uvažujme funkce fc tvaru fc(x) = x

3 + cx + 1, kde c je konstanta. Kolik lokálních

extrémů a jakých (v závislosti na c) může funkce tohoto typu mít?

10. Zjistěte, zda derivace každé monotonní funkce musí být monotonní. Jako příklad

zvolte funkci f (x) = x + sin x.

11. Načrtněte grafy funkcí s následujícími vlastnostmi:

a) f (0) = 1, f (2) = 5, f 0(x) < 0 pro x < 0 ∨ x > 2, f 0(x) > 0 pro 0 < x < 2,