Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení. Označíme r poloměr a h výšku konzervy. Její objem je V = πr2h. Rozměry
budou z hlediska hmotnosti obalu nejvýhodnější, jestliže povrch konzervy S = 2πr2+2πrh
bude při daném objemu co nejmenší. Vidíme, že povrch S je funkcí dvou proměnných r a
h. Ze vzorce pro objem plyne pro výšku h = V /(πr2). Po dosazení do vzorce pro povrch
dostaneme
S = 2πr
2 +
2V
r
.
Tím je vyjádřen povrch S jako funkce jedné proměnné r.
Formalizace úlohy:
S(r) = 2πr2 +
2V
r
−→
min,
r ∈ (0, ∞).
(Interval, na kterém extrém hledáme, je otevřený. Obecně se tedy může stát, že maximum
nebo minimum neexistuje.)
Najdeme stacionární body účelové funkce:
dS
dr
= 4πr −
2V
r2
=
4πr3 − 2V
r2
.
2.6 Optimalizace
123
Řešením rovnice 4πr3 − 2V = 0 zjistíme, že jediným stacionárním bodem je bod
ro =
3
r
V
2π
.
Dále je
d2S
dr2
= 4π +
4V
r3
,
d2S
dr2
|r=r
o = 12π > 0
– funkce S tedy má na intervalu (0, ∞) nejmenší hodnotu právě v bodě ro. Příslušná
výška pro tento poloměr je
ho = 2
3
r
V
2π
= 2ro.
Vidíme, že osový řez konzervy je čtverec.
Připomeňme, že jsme účelovou funkci vyšetřovali na otevřeném intervalu r ∈ (0, ∞);
(jednostranné) limity v krajních bodech jsou nevlastní – svého maxima funkce nenabude,
roste nad libovolnou mez.
Příklad 2.88. Z válcovitého kmenu s kruhovým průřezem o poloměru r se má vytesat
trám co největší nostnosti. Nosnost trámu je určena vztahem y = k · s · v2, kde k je
materiálová konstanta daného druhu dřeva, s je šířka a v výška průřezu trámu. Jaké
rozměry má mít trám, aby jeho nosnost byla maximální?
Řešení. Nechť P značí polohu parníku a J polohu jachty v čase t. Pak pro délky drah
parníku AP a jachty BJ v tomto čase platí