Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

4

(x−1)3

, d) 408 240, e) 120(1 + x)3;

4. a)

m!

(m−n)!

bn(a + bx)m−n, b)

(−1)

n n!bn

(a+bx)n+1

, c) (−1)n

(2n−1)!!b

n

2n(a+bx)n

√

a+bx

, d) pn sin (px + nπ/2);

5. v = Aα2te−αt, a = Aα2e−αt(αt − 1);

6. a =

mrv

2
0

(m+rv0t)2

, f = ma = r

mv0

m+rv0t

2

;

7. a) -0,048; b) -0,01; c) 0,02; d) −

1

2048

ln 2;

8. a) p(x) =

1
3

(25x − 10), b) p(x) = x, c) p(x) = 1 −

√

2

2

x, d) p(x) =

π

2

2

(x − π);

9. a) −5 + 10(x − 2) + 21(x − 2)2 + 8(x − 2)3 + (x − 2)4, b) 999805 + 29998(x − 100) + 300(x − 100)2 + (x − 100)3;

10. a) 1 + 2x + 2x2, b) x +

1
3

x3 +

2

15

x5, c) x3 −

1
2

x5, d) x − x2 +

1
2

x3 −

1
6

x4, e) −

1
2

x2 −

1

12

x4 −

1

45

x6;

12. 5; 12. a) x < 0,03162 b) x < 0,14424.

2.6

Optimalizace

V praktických situacích se obvykle snažíme najít optimální řešení konkrétního problému
– nejkratší, resp. nejrychlejší cestu, kterou se dostaneme na nějaké místo, tvar výrobku
s ohledem na minimální spotřebu materiálu a podobně. I v řešení těchto problémů nám

118

Diferenciální počet

pomůže diferenciální počet; jak, to uvidíme v této kapitole.

Lokální extrémy

Definice 2.77. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 lokální maximum (resp. lokální
minimum), jestliže existuje okolí U (x0) ⊂ Df tak, že

x ∈ U (x0) ⇒ f (x) ≤ f (x0) (resp. f (x) ≥ f (x0)) .

Platí-li v uvedených nerovnostech pro x 6= x0 jen znak ostré nerovnosti, má funkce v
bodě x0 ostré lokální maximum (minimum). Lokální maxima a minima nazýváme
společným pojmem lokální extrémy.

V praxi mají největší význam zpravidla ostré lokální extrémy, proto pod pojmem „lokální
extrémyÿ budeme v dalším výkladu rozumět ostré lokální extrémy; v případě neostrých
extrémů na to přímo upozorníme.