Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
−1. Vyjádřete tyto derivace
pomocí f 0, f 00 f 000.
6. Najděte diferenciál druhého řádu součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí f a g,
jestliže tyto funkce mají druhé derivace a g(x) 6= 0.
7. Pomocí Taylorovy věty ukažte, že polynom n-tého stupně Pn(x) je dělitelný výrazem
a)
(x − x0)
právě když
f (x0) = 0,
b)
(x − x0)
k
právě když
f (x0) = 0, f
0(x
0) = 0, f
00(x
0) = 0, . . . , f
(k−1)(x
0) = 0.
8. Ukažte, že pro polynom Pn n-tého stupně platí
P (x + h) = P (x) +
h
1!
P
0(x) + · · · +
hn
n!
P
(n)(x).
9. Ukažte, že pro funkci f danou předpisem f (x) =
e−1/x
2
pro x 6= 0
0
pro x = 0
platí f (n)(0) = 0.
Cvičení
1. Vypočítejte f 00(0), f 00(1), je-li
a)
f (x) = x5 − 7x2 + 12,
b)
f (x) = x
√
x2 + 3,
c)
f (x) = tg 2x,
d)
f (x) = xe−x
2
.
2. Ukažte, že pro funkci y = f (x) platí
a)
y(4) + 4y = 0,
je-li
y = e−x cos x,
b)
y00 = 1 − (y0)2,
je-li
y =ln|c1e
x + c
2e
−x|,
c)
y00 + y =
1
cos x ,
je-li
y = x sin x + cos x lncos x.
116
Diferenciální počet
3. Vypočítejte
a)
f (4),
je-li
f (x) = x6 + 5x4 + 2x3 − x2,
b)
f (4),
je-li
f (x) =
3
x11 ,
c)
f 00,
je-li
f (x) =
x2+1
x−1 ,
d)
f (7),
je-li
f (x) = x2(1 − 3x)4(x + 1),
e)
f 000,
je-li
f (x) = (1 + x)6.
4. Vypočtěte derivaci n-tého řádu funkce f , je-li
a)
f (x) = (a + bx)m,
b)
f (x) =
1
a + bx
,
c)
f (x) =
1
√
a + bx
,
d)
f (x) = sin px,
kde a, b, p jsou konstanty.
5. Vypočítejte rychlost a zrychlení tělesa, které se pohybuje po přímce, je-li jeho poloha
dána vztahem x = Ae−αt(1 + αt). Ukažte, že pro rychlost a zrychlení platí
d2x
dt2
+ 2α
dx
dt
+ α
2x = 0.
6. Najděte zrychlení lodě a sílu působící na loď, která pluje přímočaře ke břehu po