Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Máme-li aproximovat funkci f diferencovatelnou v x0 v dosti malém okolí U (x0) lineární
funkcí (polynomem prvního stupně) T1(x), použijeme tu funkci, jejímž grafem je tečna ke
grafu funkce f v bodě [x0, f (x0)], jinými slovy požadujeme, aby se v bodě x0 shodovaly
funkční hodnoty a hodnoty prvních derivací funkce f a polynomu T1 – viz 2.26. Hodnota
funkce f a polynomu T1 se však může značně lišit v bodech x 6= x0. Je-li funkce f
n-krát diferencovatelná, můžeme přesnost aproximace v dosti malém okolí bodu x0 zlepšit,
použijeme-li polynom n-tého stupně Tn, po kterém budeme požadovat, aby se v bodě x0
shodoval s funkcí f až do n-té derivace včetně, to znamená, aby platilo
T
(k)
n
(x0) = f
(k)(x
0), k = 0, 1, ..., n.
Snadno se prověří, že tuto vlastnost má polynom z následující definice:
Definice 2.73. Taylorovým polynomem funkce f v bodě x0 nazýváme polynom
Tn(x) = f (x0) +
f 0(x0)
1!
(x − x0) + · · · +
f (n)(x0)
n!
(x − x0)
n =
n
X
k=0
f (k)(x0)
k!
(x − x0)
k
Pro x0 = 0 se polynom Tn(x) nazývá též Maclaurinův polynom.
Označíme-li dx = x − x0, je f
(k)(x
0) (x − x0)
k = dkf (x
0) a Taylorův polynom můžeme
psát ve tvaru
Tn(x) = f (x0) +
1
1!
df (x0) +
1
2!
d
2f(x
0) + · · · +
1
n!
d
nf(x
0).
Rozdíl mezi hodnotou f (x) a Tn(x) označíme
Rn+1(x) = f (x) − Tn(x)
a nazveme zbytek po n-té mocnině, nebo (n + 1)-ní zbytek. Zbytek určuje nepřesnost
aproximace funkce f příslušným Taylorovým polynomem Tn.
Věta 2.74. (Taylorova) Nechť funkce f je (n+1)-krát diferencovatelná na jistém okolí
U (x0) bodu x0. Potom pro x ∈ U(x0) platí
f (x) = Tn(x) + Rn+1(x) kde Rn+1(x) =
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)