Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Definice 2.67. Je-li f 0 derivace funkce f na otevřeném intervalu J , může se stát, že
funkce f 0 má na J (nebo na některém otevřeném intervalu, který je částí J ) sama derivaci.
Potom tuto derivaci nazýváme derivací druhého řádu, nebo též druhou derivací

funkce f a značíme ji f 00, nebo

d2f

d x2

.

Rekurzí definujeme derivaci n-tého řádu, nebo též n-tou derivaci jako derivaci (n −
− 1)-ní derivace:

f

(n) = f(n−1)

0

.

Řád derivace se udává jako horní index v závorce. Pro derivace do třetího řádu budeme
používat označení f (1) = f 0, f (2) = f 00, f (3) = f 000. Je výhodné definovat také nultou
derivaci vztahem f (0) = f .

Pro n-tou derivaci se používá též označení

dnf (x)

dxn

(tzv. Leibnizův zápis n-té derivace).

Má-li funkce f na otevřeném intervalu J derivaci n-tého řádu f (n), řekneme, že f je

na J n-krát diferencovatelná.

Příklad 2.68. Máme najít f (n) pro funkci definovanou předpisem
f (x) = 2x3 + x2 − x + 5.

Řešení.

f 0(x)

=

6x2 + 2x − 1

f 00(x)

=

12x + 2

f 000(x)

=

12

f (4)(x)

=

0

f (n)(x)

=

0 pro n ≥ 4.

Zadaná funkce byl polynom 3. stupně; derivace řádu většího než tři je rovna nule.

Tento výsledek můžeme jistě zobecnit na libovolný polynom – derivace řádu většího než
je stupeň polynomu je rovna nule.

Příklad 2.69. Vypočítáme a) (sin x)(n) b) (epx+q)

(n)

c) (ax)

(n)

Řešení.

a) (sin x)0 = cos x = sin(x +

π

2 );

(sin x)00 =

sin(x +

π

2 )

0

= cos(x +

π

2 ) =

= sin(x + 2 ·

π

2 );

⇒ (sin x)(n) = sin(x + n · π

2 )

b) (epx+q)

0 = p epx+q; (epx+q)(n) = pn epx+q

c) (ax)

0 = ax ln a; (ax)(n) = ax (ln a)n

Definice 2.70. Je-li funkce f n-krát diferencovatelná v bodě x0, potom funkci