Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0.

Dále jsme uvedli vztah pro aproximaci funkce (dostatečně mnohokrát diferencova-
telné) v okolí nějakého bodu:

• Taylorův vzorec:

f (x) = Tn(x) + Rn+1(x),

kde Tn(x) a Rn+1(x) je

• Taylorův polynom:

Tn(x) = f (x0) +

f 0(x0)

1!

(x − x0) + · · · +

f (n)(x0)

n!

(x − x0)

n,

• zbytek po n-tém členu:

Rn+1(x) =

f (n+1)(ξ)

(n+1)! (x − x0)

n+1, ξ mezi x

0 a x.

Taylorovy formule pro některé funkce

ex

≈ 1 + x

1! +

x2

2! + · · · +

xn

n!

R(x) =

xn+1

(n+1)! e

ϑx

sin x

≈

x

1! −

x3

3! + · · · + (−1)

k−1 x

2k−1

(2k−1)!

R(x) = (−1)k

cos ϑx

(2k+1)! x

2k+1

cos x

≈ 1 − x

2

2! +

x4

4! + · · · + (−1)

k x

2k

(2k)!

R(x) = (−1)k+1

cos ϑx

(2k+2)! x

2k+2

ln(1 + x) ≈ x −

x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)

n−1 x

n

n

R(x) = (−1)n

xn+1

(1+ϑx)n+1(n+1)

Otázky a úkoly

1. Jak definujeme derivaci druhého řádu? Obecně k-tého řádu?

2. Může existovat funkce f a bod x0 tak, aby platilo: f

0

−(x0) = 1, f

0

+(x0) = −1 a

f 00(x0) = 0? Jestliže ano, uveďte příklad; jestliže ne, uveďte proč.

2.5 Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom

115

3. Pro n-tou derivaci součinu n-krát diferencovatelných funkcí se uvádí tzv. Leibnizova

formule

(f g)

(n) = f(n)g +

n

1

f

(n−1)g0 +

n

2

f

(n−2)g00 + · · · +

n

n−1

f

0g(n−1) + fg(n).

Ověřte tuto formuli pro n = 2 a pokuste se naznačit indukční krok při důkazu
formule matematickou indukcí.

4. Najděte druhou a třetí derivaci funkce f ◦ g, (f ◦ g)(x) = f [g(x)], jestliže funkce f

a g mají na příslušných množinách třetí derivaci.

5. Funkce f má na množině M derivace f 0, f 00 f 000. Inverzní funkce f−1 k funkci f

existuje a má na jisté množině N derivace f 0−1, f

00

−1, f

000