Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

vypnutí motorů pouze setrvačností. Její vzdálenost od břehu se mění podle vztahu

x = h −

m

r

ln

1 +

rv0

m

t

,

kde h je vzdálenost lodě od břehu a v0 rychlost lodě při vypnutí motorů, m je
hmotnost lodě a r součinitel odporu vody.

7. Vypočítejte diferenciály vyšších řádů dané funkce f v bodě x0 pro přírůstek ∆x ,

je-li

a)

f (x) = x3,

d3f (1),

∆x = −0, 2;

b)

f (x) =

√

1 − x2,

d2f (1),

∆x = 0, 1;

c)

f (x) = xx,

d2f (1),

∆x = 0, 1;

d)

f (x) = log x,

d4f (2),

∆x = 0, 25.

8. Linearizujte následující funkce v okolí daných pracovních bodů:

a)

f (x) = 4x2 + 3

√

x,

x0 = 1;

b)

f (x) = x sin 2x,

x0 =

π

4 ;

c)

f (x) =

q

1+x
1−x ,

x0 = 0;

d)

f (x) =

2x3

sin x ,

x0 =

π

2 .

2.6 Optimalizace

117

9. Následující polynomy vyjádřete v mocninách (x − a):

a)

y = x4 − 3x2 − 10x + 11,

je-li

a = 2,

b)

y = x3 − 2x + 5,

je-li

a = 100.

10. Najděte Maclaurinovy polynomy stupně n daných funkcí f :

a)

f (x) =

1+x+x2
1−x+x2 ,

n = 3,

b)

f (x) =tg x,

n = 5,

c)

f (x) = sin

3 x,

n = 5,

d)

f (x) = xe−x,

n = 4,

e)

f (x) = ln cos x,

n = 6.

11. Ověřte, že funkce y = x aproximuje funkci y = sin x s chybou menší než 0,001, je-li

|x| < 0,18.

12. Zjistěte, kolik nenulových členů Maclaurinova polynomu musíme vzít pro funkci

f (x) =

1

1+x2 , abychom ji aproximovali v intervalu h0,

1
2 i s chybou menší než 0,005.

13. Pro jaké kladné x můžeme aproximovat funkci

a)

f (x) =

1

1+x ,

b)

f (x) = ln(1 + x)

prvními dvěma nenulovými členy Maclaurinova polynomu s chybou menší než
0,001 ?

Výsledky

1. a) -14, 6; b) 0, 11/8; c) 0, 8

sin 2

cos3 2

; d) 0,

−2

e

;

3. a) 360x2 + 120, b) 72 072 x−15, c)