Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n+1,
přičemž ξ leží mezi body x, x0, neboli ξ = x0 + ϑ(x − x0) 0 < ϑ < 1.
110
Diferenciální počet
Příklad 2.75. Najděme Taylorův vzorec pro funkci
f : f (x) =
√
1 + x, x ∈ h−1, +∞), x0 = 0, n = 3.
Nakresleme graf dané funkce v okolí bodu x0 = 0 a grafy příslušných Taylorových poly-
nomů stupně 1, 2 a 3.
Řešení. Máme za úkol vyjádřit danou funkci f ve tvaru
f (x) = T3(x) + R4(x),
kde T3 je Maclaurinův polynom stupně nejvýše 3 dané funkce f , tj.
T3(x) = f (0) +
f 0(0)
1!
x +
f 00(0)
2!
x
2 +
f 000(0)
3!
x
3,
a R4 je příslušný zbytek v Taylorově vzorci:
R4(x) =
1
4!
f
(4)(ξ) x4,
ξ = ϑx, 0 < ϑ < 1.
Vypočítáme potřebné derivace:
f (x)
= (1 + x)1/2,
f (0)
= 1
f 0(x)
=
1
2 (1 + x)
−1/2,
f 0(0)
=
1
2
f 00(x)
=
1
2 (−
1
2 )(1 + x)
−3/2,
f 00(0)
=
1
2 (−
1
2 )
f 000(x)
=
1
2 (−
1
2 )(−
3
2 )(1 + x)
−5/2,
f 000(0)
=
1
2 (−
1
2 )(−
3
2 )
f (4)(x) =
1
2 (−
1
2 )(−
3
2 )(−
5
2 )(1 + x)
−7/2,
f (4)(ξ) =
1
2 (−
1
2 )(−
3
2 )(−
5
2 )(1 + ξ)
−7/2.
Po dosazení do Taylorova vzorce dostaneme pro x ∈ (−1, +∞):
√
1 + x = 1 +
1
2
x −
1
2
1
2
x2
2!
+
1
2
1
2
3
2
x3
3!
+ R4(x) = 1 +
1
2
x −
1
8
x
2 +
1
16
x
3 + R
4(x),
kde
R4(x) =
−1 · 3 · 5
24
x4
4!
(1 + ϑx)
−7/2,
0 < ϑ < 1.
Na obr. 2.27, kde je nakreslen graf dané funkce f a grafy jejích Taylorových polynomů
T1, T2, T3 v bodě x0 = 0 stupně 1,2 a 3, jsou dále v bodě x = 3 vyznačeny absolutní
hodnoty zbytků R2(3), R3(3) a R4(3) příslušného Taylorova vzorce.
Taylorův polynom Tn funkce f v bodě x0 tedy aproximuje funkci f v bodech x jistého
okolí U (x0) bodu x0, a to s chybou danou absolutní hodnotou zbytku Rn+1 pro příslušný
bod x. Lze tedy pro body x ∈ Ux