Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
nf(x
0) = f
(n)(x
0) · h
n
proměnné h ∈ R nazýváme diferenciálem n-tého řádu funkce f v bodě x0, nebo
n-tým diferenciálem funkce f v bodě x0.
108
Diferenciální počet
Použijeme-li pro přírůstek h označení dx, píšeme
d
nf(x
0) = f
(n)(x
0) · dx
n
a odtud dostáváme zmíněné Leibnizovo označení n-té derivace
dnf (x0)
dxn
= f (n)(x0).
Příklad 2.71. Vypočítáme d2f (3), je-li f (x) = 5x−3.
Řešení. f 0(x) = 5x−3 ln 5; f 00(x) = 5x−3(ln 5)2; f 00(3) = (ln 5)2 ⇒ d2f (3) = (ln 5)2dx2
Linearizace
Víme, že rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x0, f (x0)] má tvar
y − f (x0) = f
0(x
0)(x − x0)
neboli
y = f (x0) + f
0(x
0)(x − x0).
Výraz na pravé straně je polynom 1. stupně; označme jako p funkci definovanou vztahem
p(x) = f (x0) + f
0(x
0)(x − x0).
Pro funkci p zřejmě platí
p(x0) = f (x0),
p0(x0) = f
0(x
0),
navíc se dá ukázat, že p je jediný polynom 1. stupně s těmito dvěma vlastnostmi.
Protože polynom stupně nejvýše 1. se nazývá lineární funkce (grafem je přímka), řekneme,
že p je linearizace funkce f v x0.
Příklad 2.72.
Máme najít linearizaci funkce
f : f (x) = tg x
v
π
4 .
Řešení.
f (x) = tg x,
f (
π
4 ) = 1,
f 0(x) =
1
cos2 x ,
f 0(
π
4 ) =
1
(
√
2
2
)2
= 2.
Odtud
p(x) = 1 + 2(x −
π
4
) = 2x + 1 −
π
2
.
Obr. 2.26: Linearizace
Poznamenejme, že linearizace se užívá velmi často v praxi, například při náhradě experi-
mentálně zjištěných charakteristik elektrických součástek (tranzistorů) v okolí pracovního
bodu.
2.5 Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom
109
Aproximace funkce Taylorovým polynomem
Nyní přikročíme k řešení jednoho z nejdůležitějších problémů matematické analýzy –
aproximaci funkce pomocí polynomu.