Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
p)
sin
3(cos2(tg x))
q)
43x + 36x4
r)
e
√
x2+x+1
s)
e
x
ln x
t)
ln(x +
√
1 + x2)
u)
ln
q 1 − sin x
1 + sin x
v)
arctg x + 1
x − 1
w)
xe
x
x)
(tg x)1/ cos x
y)
(cosh x)ln x
z)
(ln x)x + xln x
2. Vypočítejte derivace následujících funkcí a výsledky co nejvíce zjednodušte:
a)
x ln(x −
√
x2 − 1) +
√
x2 − 1
b)
1
3(1 + x3)
+
1
3 ln
x3
1 + x3
c)
arctg x
2
+ ln
q x − 2
x + 2
d)
1
2
√
2
ln
√
2 + 2x2 − x
√
2 + 2x2 + x
+ ln(x +
√
1 + x2)
e)
1
4
ln 1 + x + x
2
1 − x + x2
+
√
3
6
arctg x
√
3
1 − x2
3. Vypočtěte derivace následujících funkcí; v bodech, kde derivace neexistuje, vy-
počtěte derivaci zleva a zprava:
104
Diferenciální počet
a)
|x3|
b)
p|x − 1|
c)
ln |3 − x|
d)
x|x|
e)
| cos x|
f)
(−1)[x]
4. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A, je-li
a)
f (x) =
3x−2
2x−3 ,
A = [1, ?]
b)
f (x) = 2
√
2 sin x,
A = [
π
4 , ?]
c)
f (x) = ln(x + 1),
A = [0, ?]
d)
f (x) = e−x cos 2x,
A = [0, ?]
5. Najděte rovnici tečny a normály k parabole y = x2 − 2x + 3, jestliže tečna
a) je rovnoběžná s přímkou 3x − y + 5 = 0,
b) je kolmá na přímku x + y − 1 = 0,
c) svírá s přímkou 2x + y − 2 = 0 úhel
π
4 .
6. Vedení vysokého napětí má rozpětí mezi stožáry 80 m. Tvar zavěšeného vodiče udává
parabola y = 0,001 x2, přičemž její vrchol je stejně vzdálen od obou stožárů. Najděte
úhel mezi vodičem a stožárem.
7. Balon kulového tvaru zmenšuje v důsledku porušení svého obalu svůj průměr o 2 cm
za sekundu. Vypočítejte, jakou rychlostí se zmenšuje jeho objem, je-li počáteční
poloměr balonu r = 16 m.
8. Jestliže těleso vyhodíme svisle vzhůru s počáteční rychlostí v0 ms