Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(f (x) · g(x))
0 = lim
h→0
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
h
=
= lim
h→0
1
h
[f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x)] =
= lim
h→0
1
h
[(f (x + h) − f (x))g(x + h) + f (x)(g(x + h) − g(x))] =
= lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
g(x + h)
+ f (x) lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= f
0(x)g(x) + f(x)g0(x).
Důkaz věty o derivaci inverzní funkce: Z a) vyplývá, že funkce f je spojitá na (a, b) a s použitím věty o limitě
složené funkce 2.26 s vnitřní složkou y = f (x), tj. x = g(y), dostáváme
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
y→y0
y − y0
g(y) − g(y0)
=
1
g0(y0)
.
Důkaz prvního L’Hospitalova pravidla: Předpokládejme, že a je vlastní, tedy že platí f (a) = g(a) = 0. Potom
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f (x) − f (a)
g(x) − g(a)
= lim
x→a
f (x)−f (a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
=
lim
x→a
f (x)−f (a)
x−a
lim
x→a
g(x)−g(a)
x−a
=
f 0(a)
g0(a)
.
V případě, kdy f (a) nebo g(a) neexistuje (tedy některá z funkcí f, g má v a odstranitelnou singularitu), definiční předpis
změníme tak, že položíme f (a) = g(a) = 0. V případě a = ±∞ použijeme substituci t =
1
x
a větu o limitě složené funkce.
Důkaz Fermatovy věty: Předpokládejme, že f má v ξ maximum, tedy platí
f (x) ≤ f (ξ) ∀x ∈ ha, bi,
neboli
f (x) − f (ξ) ≤ 0.
Potom pro podíl
f (x) − f (ξ)
x − ξ
platí:
x < ξ
⇒
f (x) − f (ξ)
x − ξ
≥ 0,
x > ξ
⇒
f (x) − f (ξ)
x − ξ
≤ 0.
Tedy
lim
x→ξ−
f (x) − f (ξ)
x − ξ
= f
0
−(ξ) ≥ 0,
lim
x→ξ+
f (x) − f (ξ)
x − ξ
= f
0
+(ξ) ≤ 0.
Protože podle předpokladu existuje f 0(ξ), musí platit