Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1)
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = 0,
2)
lim
x→a
f 0(x)
g0(x) = b.
Potom také
lim
x→a
f (x)
g(x) = b.
Důkaz naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Věta 2.61. (Druhé L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některém U ∗(a) a platí
1) lim
x→a
|f (x)| = lim
x→a
|g(x)| = ∞
2) lim
x→a
f 0(x)
g0(x) = b.
Potom také
lim
x→a
f (x)
g(x) = b.
2.4 Derivace
95
Příklad 2.62. Vypočteme následující limity:
a)
lim
x→1
ln(2x − 1)
tg4πx
b)
lim
x→∞
ln x
x
c)
lim
x→∞
x
1
x
d)
lim
x→0
(cotg x −
1
x )
Řešení.
a)
lim
x→1
ln(2x − 1)
tg 4πx
=
0
0
= lim
x→1
2
2x − 1
4π
cos2 4πx
= lim
x→1
cos2 4πx
2π(2x − 1)
=
1
2π
.
b)
lim
x→∞
ln x
x
=
∞
∞
= lim
x→∞
1
x
1
= 0.
c)
lim
x→∞
x
1
x
= ∞
0 = lim
x→∞
e
1
x
ln x = eb,
kde b = lim
x→∞
ln x
x = 0, jak jsme vypočítali v předchozím příkladu. Tedy
lim
x→∞
x
1
x
= e
0 = 1.
d)
lim
x→0
cotg x −
1
x
= (±∞ − (±∞)) = lim
x→0
cos x
sin x
−
1
x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
x sin x
=
0
0
= lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
sin x + x cos x
=
= lim
x→0
−x sin x
sin x + x cos x
=
0
0
= lim
x→0
− sin x
sin x
x
+ cos x
= 0.
Na poslední neurčitý výraz jsme L’Hospitalovo pravidlo již nepoužili – výhodnější bylo
dělit čitatele i jmenovatele x.
Závěrem kapitoly o derivaci uvedeme tři důležité věty o funkcích diferencovatelných na
intervalu, které mají značný teoretický, ale i praktický význam:
Věty o přírůstku funkce
Věta 2.63. (Fermatova) Jestliže
a) f je spojitá na ha, bi,
b) v bodě ξ ∈ (a, b) nabývá své největší (nebo nejmenší) hodnoty,
96
Diferenciální počet
c) existuje f 0(ξ),
pak f 0(ξ) = 0.
Důkaz věty naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Věta 2.64. (Rolleova) Jestliže
a) f je spojitá na ha, bi,