Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2

h

2

=

= cos x

d) podobně jako předchozí případ

e) (ex)0 = lim

h→0

1

h [e

x+h − ex] = ex · lim

h→0

1

h [e

h − 1];

poslední limitu určíme pomocí věty o limitě složené funkce; volíme-li vnitřní složku
(substituci) u = eh − 1, platí h → 0 ⇒ u → 0, a tedy

lim

h→0

1

h [e

h − 1] = lim

u→0

u

ln(1+u) = lim

u→0

1

ln(1+u)

1

u

=

1

ln e = 1

Základní pravidla pro derivování

Věta 2.49. Nechť funkce f, g mají derivace f 0(x), g0(x) v bodě x. Potom mají v tomto
bodě derivaci také funkce f ± g, f · g, c · f , kde c = konst., a je-li g(x) 6= 0 také

f

g , přičemž

platí:

a) (f (x) ± g(x))

0 = f0(x) ± g0(x),

b) (c · f (x))

0 = c · f0(x),

c) (f (x) · g(x))

0 = f0(x) · g(x) + f(x) · g0(x),

d)

 f(x)

g(x)

0

=

1

g2(x) (f

0(x) · g(x) − f (x) · g0(x)) .

Důkaz najdete v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Příklad 2.50.

a) (sinh x)0 = cosh x

b) (tg x)0 =

1

cos2 x

c) (xn)

0 = n xn−1, n ∈ Z

Řešení.
(sinh x)0 =

ex−e−x

2

0

=

1
2

h

(ex)0 −

1

ex

0

i

=

1
2

ex − −e

x

e2x

 = 1

2 (e

x + e−x) = cosh x

a)

b) (tgx)0 =

sin x

cos x

0 = cos

2 x + sin2 x

cos2 x

=

1

cos2 x

c) Pro n ∈ N je formule odvozena v 2.48, stejně jako pro n = 0 (derivace konstanty).

Vyšetřujme tedy n celé záporné a označme −n = m ∈ N. Potom
(xn)

0 = 1

xm

0 = −m x

m−1

x2m

= −m x−m−1 = n xn−1

2.4 Derivace

89

Derivace inverzní funkce

Věta 2.51. Nechť

f : y = f (x), x ∈ (a, b)

g : x = g(y), y ∈ (α, β)

jsou navzájem inverzní funkce, přičemž v bodě y0 ∈ (α, β), y0 = f (x0) existuje derivace
g0(y0) 6= 0.

Potom v bodě x0 = g(y0) existuje také f