Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

je-li lim

x→a

f (x) = f (a),

• spojitá zleva (zprava) v bodě a:

jsou-li příslušné jednostranné limity rovny

funkční hodnotě v bodě a,

• spojitá na intervalu:

je-li spojitá v každém bodě intervalu; jedná-li se o uza-

vřený nebo polouzavřený interval, v koncovém bodě je spojitá zleva nebo zprava
(„zevnitřÿ intervalu).

Není-li funkce f v bodě a spojitá, má zde

• nespojitost 1. druhu:

existuje-li lim

x→a+

f (x) = f (a+) i lim

x→a−

f (x) = f (a−) a jsou

vlastní; přitom v případě, že se tyto jednostranné limity sobě rovnají, hovoříme
o odstranitelné nespojitosti; rozdíl f (a+)−f (a−) se nazývá skok funkce f v bodě
a,

• nespojitost 2. druhu:

jestliže alespoň jedna jednostranná limita funkce f

v bodě a neexistuje nebo je nevlastní.

Vlastnosti spojitých funkcí:

• Funkce vzniklé pomocí aritmetických operací ze spojitých funkcí a

• složené funkce vzniklé kompozicí spojitých funkcí

jsou spojité ve všech bodech, ve kterých jsou definované. Odtud plyne, že elementární
funkce jsou spojité všude, kde jsou definované.

Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi, potom

• je zde ohraničená,

• nabývá zde svého maxima a minima,

• nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem.

Otázky a úkoly

1. Kdy řekneme, že je funkce f spojitá v bodě a? Kdy je spojitá na intervalu ha, bi?

2. Uvedli jsme celou řadu funkcí definovaných na R, které byly nespojité pouze v jed-

82

Diferenciální počet

nom bodě (např. f (x) = sgn x v 0). Může se stát, aby funkce definovaná na R byla
spojitá pouze v jednom bodě? Uveďte příklad takové funkce.

3. Vyšetřete spojitost funkce z obr. 2.10, klasifikujte nespojitosti.

4. Nechť funkce f je v bodě a spojitá a funkce g nespojitá. Zjistěte, zda jsou v bodě a