Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2.3 Spojitost

79

a) Polynom

P (x) = anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · + a

1x + a0

(kde ai ∈ R, i = 0, . . . , n) je spojitá funkce pro libovolné x ∈ R, jak jsme ukázali
v příkladu 2.18.

b) Racionální lomená funkce

f (x) =

P (x)

Q(x)

=

anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · + a

1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0

(kde ai ∈ R, i = 0, . . . , n, bj ∈ R, j = 0, . . . , m) je spojitá pro všechny hodnoty
x ∈ R, pro něž Q(x) 6= 0.

c) Tzv. základní elementární funkce, k nimž patří sin x, cos x, ax, kde a > 0, jsou spojité

na R.

d) Ostatní elementární funkce, které nemusí být všude definovány a tedy ani spojité na

R, mají tu vlastnost, že jsou spojité v každém bodě svého přirozeného definičního
oboru.

Funkce spojité na intervalu

Definice 2.39.

• Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém

jeho bodě c ∈ (a, b).

• Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi, jestliže je spojitá

na otevřeném intervalu (a, b) a navíc je v bodě a spojitá zprava a v bodě b zleva.
Zkráceně zapisujeme skutečnost, že funkce f je spojitá na ha, bi takto: f ∈ Cha,bi.

Jako cvičení napište analogické definice spojitosti funkce na intervalech (a, bi a ha, b).

Názorně – funkce je na intervalu spojitá, jestliže na tomto intervalu můžeme její graf
nakreslit nepřerušovanou čarou.

Věta 2.40. Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu

• Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi, je na něm ohraničená.

• Věta Weierstrassova

Funkce f ∈ Cha,bi nabývá v nějakých bodech intervalu ha, bi svého maxima a minima,
tj. existují body α a β patřící do ha, bi takové, že