Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

⇒

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = ∞,

4. lim

x→a

f (x) = ∞ ∧ g(x) ≥ c, c > 0

⇒

lim

x→a

(f (x)g(x)) = ∞;

• je-li lim

u→b

f (u) = B, lim

x→a

g(x) = b a navíc existuje takové okolí U (a) bodu a, že

∀x ∈ U ∗(a) je g(x) 6= b, potom pro limitu složené funkce f ◦g platí lim

x→a

f (g(x)) =

= B.

Závěrem jsme zavedli pojem asymptoty grafu funkce:

• asymptota bez směrnice (svislá):

přímka x = a je svislá asymptota funkce f ,

je-li lim

x→a−

f (x), nebo lim

x→a+

f (x) nevlastní,

• asymptota se směrnicí:

přímka y = ax + b je asymptota funkce f , je-li

lim

x→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0, nebo lim

x→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0;

• pro a, b platí:

a = lim

x→±∞

f (x)

x

a

b = lim

x→±∞

(f (x) − a x).

2.2 Limita

73

Otázky a úkoly

1. Které z následujících tvrzení je ekvivalentní s lim

x→a

f (x) = b?

a) pro libovolné okolí U (b) bodu b a libovolné okolí U (a) bodu a zobrazí funkce

f množinu U ∗(a) ∩ Df do U (b),

b) existuje okolí U (b) bodu b a okolí U (a) bodu a tak, že funkce f zobrazí množinu

U ∗(a) ∩ Df do U(b),

c) pro libovolné okolí U (a) bodu a existuje okolí U (b) bodu b tak, že funkce f

zobrazí množinu U ∗(a) ∩ Df do U (b),

d) pro libovolné okolí U (b) bodu b existuje okolí U (a) bodu a tak, že funkce f

zobrazí množinu U ∗(a) ∩ Df do U (b),

e) existuje okolí U (b) bodu b tak, že pro libovolné okolí U (a) bodu a zobrazí

funkce f množinu U ∗(a) ∩ Df do U (b),

f) existuje okolí U (a) bodu a tak, že pro libovolné okolí U (b) bodu b zobrazí

funkce f množinu U ∗(a) ∩ Df do U (b).