Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
onálních lomených funkcí, opět s použitím věty o limitě složené funkce:
lim
x→∞
√
3x2 + 9
2x + 3
= lim
x→∞
q
x2(3 +
9
x2 )
x(2 +
3
x )
= lim
x→∞
q
3 +
9
x2
2 +
3
x
=
√
3
2
.
V čitateli zadaného podílu byla druhá odmocnina výrazu, v němž nejvyšší mocnina
x byla 2; můžeme tedy říci, že nejvyšší mocnina x v čitateli je 1 a koeficient u
této nejvyšší mocniny x je
√
3. Jmenovatel je polynom 1. stupně s koeficientem u
x rovným 2. Vidíme, že náš výsledek je vlastně opět podíl koeficientů u nejvyšších
mocnin (jsou-li tyto mocniny stejné).
h) Použijme předchozí úvahu: Nejvyšší mocnina x v čitateli i jmenovateli je
1
2 a podíl
koeficientů u těchto mocnin je
1
√
2
a to by měl být výsledek. Přesvědčíme se výpočtem:
lim
x→∞
q
x + 2
p
3x + 4
√
5x
√
2x + 1
= lim
x→∞
√
x
q
1 +
2
x
p
3x + 4
√
5x
√
x
q
2 +
1
x
=
= lim
x→∞
s
1 + 2
r
3
1
x + 4
q
5
1
x3
q
2 +
1
x
=
1
√
2
=
√
2
2
.
2.2 Limita
69
Příklad 2.28. Pomocí věty o limitě složené funkce odvodíme některé důležité limity:
a)
lim
x→∞
1 +
1
x
x = e
b)
lim
x→−∞
1 +
1
x
x = e
c)
lim
x→∞
1 +
c
x
x = ec
d)
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e
Řešení.
a) Pro x > 1 platí
1 +
1
n + 1
n
<
1 +
1
x
x
<
1 +
1
n
n+1
kde n = [x] je celá část x, tj. přirozené číslo n, pro které je
n ≤ x < n + 1.
Přejdeme-li k limitě pro x → ∞, a tedy i pro n → ∞, dostaneme
lim
n→∞
1 +
1
n + 1
n
= lim
n→∞
1 +
1
n+1
n+1
1 +
1
n+1
=
e
1
= e,
lim
n→∞
1 +
1
n
n+1
= lim
n→∞
1 +
1
n
n
·
1 +
1
n
= e · 1 = e.
Odtud podle věty o sevření 3 plyne
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e.
b) Návod: Použijeme větu o limitě složené funkce tak, že za vnitřní složku volíme funkci
u = −x − 1 (tedy x = −u − 1).
c) Návod: Použijeme větu o limitě složené funkce tak, že za vnitřní složku volíme funkci