Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
x→∞
Pm(x)
Qn(x)
=
am
bn
lim
x→∞
xm−n +
am−1
am
xm−n−1 + · · · +
a1
am
x1−n +
a0
am
x−n
1 +
bn−1
bn
x−1 + · · · +
b1
bn
x1−n +
b0
bn
x−n
;
2.2 Limita
65
limita zlomku je rovna ∞, výsledek bude ±∞ podle znaménka podílu
am
bn
.
Závěrem dostáváme
lim
x→∞
Pm(x)
Qn(x)
=
0 pro m < n
an/bn pro m = n
∞
−∞
pro
m > n, a
m/bn > 0
m > n, am/bn < 0
b) Podle zadání je x = a kořenem obou polynomů; platí tedy
Pm(x) = (x − a)
k P (x),
Qn(x) = (x − a)
l Q(x),
kde P (a) 6= 0 a Q(a) 6= 0, přičemž k resp. l je násobnost čísla a jako kořenu polynomu
Pm(x) resp. Qn(x). Odtud
lim
x→a
Pm(x)
Qn(x)
=
P (a)
Q(a)
lim
x→a
(x − a)
k−l.
Opět mohou nastat tři případy:
1. k > l:
limita je zřejmě rovna nule;
2. k = l:
limita je rovna P (a)/Q(a);
3. k < l:
zde výsledek závisí na tom, zda je číslo l − k sudé nebo liché:
(a) k < l, l − k sudé – limita je rovna nekonečnu opatřenému znaménkem, jaké
má podíl P (a)/Q(a);
(b) k < l, l − k liché – limita neexistuje, jednostranné limity jsou nevlastní
s různým znaménkem:
Je-li P (a)/Q(a) > 0, je limita zprava rovna ∞, limita zleva rovna −∞, pro
P (a)/Q(a) < 0 jsou znaménka opačná.
Uvedeme několik konkrétních případů:
Příklad 2.25. Máme vypočítat následující limity racionálních lomených funkcí:
a)
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2
b)
lim
x→1
x2 − 4
x2 − 3x + 2
c)
lim
x→1
x3 − 4x2 + 5x − 2
x5 − 3x + 2
d)
lim
x→1
x5 − 3x + 2
x3 − 3x2 + 3x − 1
e)
lim
x→∞
x2 − 4
x2 − 3x + 2
f)
lim
x→∞
(x + 3)(x + 4)(x + 5)
x4 + x − 11
g)
lim
x→∞
7x3 − 2x
6 − 13x2
66
Diferenciální počet
Řešení.
a)
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x + 2