Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x→∞
f (x) ≤ a, navíc platí
Věta 2.19. Každá funkce f, která je neklesající (resp. nerostoucí) a shora (resp. zdola)
ohraničená na některém intervalu (K, ∞) má v bodě ∞ vlastní limitu b a platí
b =
sup
x∈(K,∞)
f (x)
resp. b =
inf
x∈(K,∞)
f (x)
Příklad 2.20. Posloupnost (1 +
1
n )
n∞
n=1
je konvergentní.
Řešení.
an =
1 +
1
n
n
=
n
X
k=0
n
k
1
nk
=
n
X
k=0
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
·
1
nk
=
=
n
X
k=0
1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
· · ·
1 −
k − 1
n
;
an+1 =
n
X
k=0
1
k!
1 −
1
n + 1
1 −
2
n + 1
· · ·
1 −
k − 1
n + 1
.
Odtud je zřejmé, že an < an+1, tedy posloupnost je rostoucí. Dále
an <
n
X
k=0
1
k!
= 2 +
1
2!
+ · · · +
1
n!
< 2 +
1
2
+
1
22
+ · · · +
1
2n−1
< 2 + 1 = 3.
To znamená, že posloupnost je shora ohraničená a má vlastní limitu.
Posloupnost (1 +
1
n )
n∞
n=1
vystupuje při tzv. složeném úrokování: Jestliže r je roční
úroková míra a úrok se počítá k-krát ročně, pak banka jeden rok rozdělí na k stejně
dlouhých úrokovacích období a za úrokovou míru platnou pro každé úrokovací období se
vezme jen odpovídající část
r
k . Na konci prvního úrokovacího období vzroste počáteční
vklad P na hodnotu P · (1 +
r
k ) (korun), na konci druhého resp. třetího úrokovacího
období na P · (1 +
r
k ) · (1 +
r
k ) = P · (1 +
r
k )
2 (korun) resp. P · (1 + r
k )
3 (korun), na
konci prvního roku se úrok počítal právě k-krát a budoucí hodnota B vkladu P v tomto
okamžiku tedy je B = P · (1 +
r
k )
k (korun).
Nechť počáteční vklad je jedna koruna, P = 1 a nechť úroková míra je extrémně vysoká
r = 1.
Při úrokování jednou ročně vzroste vklad P = 1 ke konci roku na budoucí hodnotu
B = 1 · (1 + 1) = 2 koruny (zde jsme měli k = 1, t = 1).
Při úrokování dvakrát ročně (k = 2) vzroste vklad 1 koruna ke konci první polo-