Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad 2.6. V příkladu 2.4 jsme ukázali přímo z definice limity, že

lim

x→1

x2 − 1

x − 1

= 2,

lim

x→0

3

√

x

x

= ∞,

lim

x→0

|x|

x

neex.

Poznámky k definici limity

1. Vlastními slovy můžeme fakt, že funkce f má v bodě a limitu b formulovat takto:

Funkční hodnoty funkce f v okolí bodu a lze s libovolnou přesností aproximovat
číslem b; neboli blíží-li se bod x k bodu a, liší se hodnota f (x) od čísla b libovolně
málo.

2. Všimněte si, že v definici limity je vyloučen bod x = a, tudíž limita funkce v bodě

a nezávisí na tom, zda a jak je funkce v tomto bodě definovaná. Proto dvě funkce,
které se od sebe liší pouze v bodě a, budou mít v tomto bodě tutéž limitu, nebo
nebude mít limitu žádná z nich.

3. V definici je využito jen hodnot funkce v okolí bodu a. Proto dvě funkce, které mají

tytéž hodnoty ve všech bodech nějakého redukovaného okolí bodu a, mají v tomto
bodě tutéž limitu, nebo v něm nemá limitu žádná z nich.

4. Funkce, jejíž limitu počítáme, tedy nemusí být definovaná v bodě a. Zřejmě by

ale nemělo smysl, aby v některém redukovaném okolí tohoto bodu neležely vůbec
body z definičního oboru funkce f – je tedy přirozené požadovat, aby bod a byl
hromadným bodem definičního oboru.

Snadno se ukáže (ověřte jako cvičení - sporem) platnost následujícího tvrzení:

Věta 2.7. Funkce f má v bodě a nejvýš jednu limitu.

Příklad 2.8. Vypočítáme několik limit přímo z definice:

1. lim

x→a

c = c,

2. lim

x→a

x = a,

3. lim

x→±∞

1
x = 0,

4. lim

x→∞

ax = ∞ pro a > 1

5. lim

x→−∞

ax = 0 pro a > 1

Řešení.

1. Jde o limitu konstantní funkce f (x) = c. Zvolíme-li U (c) libovolně, potom