Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

55

Obr. 2.3: y =

x2−1

x−1

Obr. 2.4: y =

1

3

√

x2

Obr. 2.5: y =

|x|

x

Definice limity

Definici základního prostředku matematické analýzy – limity – budeme formulovat tak,
aby byla použitelná i pro zobrazení, která jsou obecnější než reálné funkce reálné pro-
měnné:

Definice 2.5. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu b , když

• a je hromadným bodem množiny Df ,

• k libovolnému okolí U (b) limity b existuje okolí U (a) bodu a tak, že funkce f zobrazí

redukované okolí U ∗(a) do U (b), tedy

∀U (b) ∃ U (a) : U

∗(a) ⊂ f−1(U(b)).

Potom píšeme

lim

x→a

f (x) = b nebo f (x) → b pro x → a.

Je-li b 6= ±∞ , mluvíme o vlastní limitě, v opačném případě o limitě nevlastní.

Nejčastěji budeme vyšetřovat funkce, které budou definovány na nějakém redukovaném
okolí bodu a; v tom případě bude první podmínka v definici limity automaticky splněna.

Jsou-li body a, b vlastní a označíme-li ε, δ poloměry okolí U (b), U (a) v tomto pořadí,

lze druhou podmínku v definici limity formulovat následovně:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε.

Je-li b nevlastní, např. b = ∞, lze tvrzení lim

x→a

f (x) = ∞ formulovat takto:

∀K > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df : 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > K,

a analogicky pro a nevlastní, např. a = ∞, lze tvrzení lim

x→∞

f (x) = b formulovat takto:

∀ε > 0 ∃ K > 0 ∀x ∈ Df : x > K ⇒ |f (x) − b| < ε.

56

Diferenciální počet

Jako cvičení zformulujte podobně definici limity pro případy, kdy a nebo b je nevlastní
bod −∞.