Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

1

K )

je

1
x ∈ (K, ∞),

přičemž interval (0,

1

K ) je průnikem okolí (−

1

K ,

1

K ) bodu 0 s intervalem (0, ∞).

Část 2. se ukáže analogicky.

Vztah mezi limitou funkce a jednostrannými limitami popisuje následující užitečná

věta:

58

Diferenciální počet

Věta 2.12. Funkce f má ve vnitřním bodě definičního oboru limitu, právě když má
v tomto bodě obě jednostranné limity a ty se sobě rovnají. Potom platí

lim

x→a+

f (x) = lim

x→a−

f (x) = lim

x→a

f (x).

Důkaz věty naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Pro výpočet limit můžete použít tento Maplet.

Limita posloupnosti

Protože množina N všech přirozených čísel má jediný hromadný bod ∞ , má u posloup-
ností smysl vyšetřovat jen limitu lim

n→∞

an . Pro posloupnost můžeme definici limity napsat

v následujícím tvaru:

lim

n→∞

an = b

⇔

∀ε > 0 ∃K > 0 ∀n ∈ N, n > K :

|an − b| < ε.

Formulováno vlastními slovy: Posloupnost (an) má limitu b, jestliže v libovolném okolí
limity b od jistého indexu leží všechny členy posloupnosti.

Posloupnost, která má vlastní limitu, se nazývá konvergentní , posloupnost, která má
nevlastní limitu nebo nemá žádnou limitu se nazývá divergentní.

Příklad 2.13. lim

n→∞

1

n = 0.

Řešení. Posloupnost

1

n

 je zúžením funkce f : f (x) = 1

x na N, tj.

1

n

 = f /

N . Protože

již víme, že lim

x→+∞

1
x = 0

(příklad 2.8), dostáváme podle věty 2.9 o relativní limitě

lim

n→∞

1

n = 0.

Posloupnost 1, 1, 2,

1
2 , 3,

1
3 , 4,

1
4 , . . . zřejmě nemá limitu, ale můžeme z ní vybrat dvě

konvergentní posloupnosti

lim

n→∞

a2n = lim

n→∞

1

n

= 0,

lim

n→∞

a2n−1 = lim

n→∞

n = ∞.

Pro limity těchto vybraných posloupností platí, že v libovolném okolí každého z nich leží
nekonečně mnoho členů dané posloupnosti, ale ne všechny od jistého indexu, jak to platí
pro limitu. Takové „parciální limityÿ posloupnosti nazýváme hromadnými hodnotami
zadané posloupnosti, definujeme: