Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Definice 2.14. Bod b se nazývá hromadnou hodnotou posloupnosti (an), jestliže pro
každé okolí U (b) je an ∈ U (b) pro nekonečně mnoho indexů n.

Porovnejme definici hromadné hodnoty posloupnosti s definicí limity, tj. an ∈ U (b) pro
všechna n z některého okolí ∞; takových indexů n je jistě nekonečně mnoho. Odtud
vidíme, že pokud má posloupnost limitu, je tato limita její hromadnou hodnotou (a to
jedinou). V obecném případě může mít posloupnost více hromadných hodnot; zavádíme
následující označení:

2.2 Limita

59

Definice 2.15. Největší z hromadných hodnot posloupnosti (an) se nazývá horní limita
a značí se lim sup an nebo liman. Nejmenší z hromadných hodnot posloupnosti (an) se
nazývá dolní limita a značí se lim inf an nebo liman.

Z definice plyne

lim inf an ≤ lim sup an,

přičemž rovnost nastává, právě když má posloupnost (an) limitu. Potom platí

lim inf an = lim sup an = lim

n→∞

an.

Poznamenejme, že tato skutečnost platí pro každou hromadnou hodnotu posloupnosti,

tedy je-li číslo b hromadnou hodnotou posloupnosti (an), existuje vybraná posloupnost
(ak) z této posloupnosti pro kterou platí lim

k→∞

ak = b.

Pojem horní a dolní limity posloupnosti budeme potřebovat v kapitole o mocninných

řadách.

Věty o limitách

Pojem limity (zvlášť ve vlastním bodě) jsme zavedli hlavně pro případy, kdy se do zkou-
maného výrazu hodnota, ve které limitu počítáme, nedá dosadit. V předchozím odstavci
jsme v 2.8 přímo z definice ukázali, že pro funkce f (x) = c, f (x) = x a f (x) = ax je
limita v libovolném bodě rovna funkční hodnotě; ze střední školy víte, že takto můžeme
limitu počítat vždy, když dosadit jde. K tomu ale potřebujeme prověřit některé vlastnosti
limit (např. aritmetické operace s limitami) a dále některé další základní limity, např. že
limx→a sin x = sin a,