Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

viny roku při úrokové míře 0, 5 na hodnotu B =

1 +

1
2

0,5·2

= 1, 5 koruny; ke konci

roku,tedy po uplynutí druhého úrokovacího období při stejné úrokové míře na hodnotu

2.2 Limita

63

B = 1 +

1
2

 · 1 + 1

2

 = 1 + 1

2

2 = 2, 25 (korun).

Indukcí je možné usoudit, že při n-násobném úrokování v průběhu roku vklad 1 koruna
vzroste ke konci roku na hodnotu B = 1 +

1

n

n (korun) a to je posloupnost vyšetřovaná

v předchozím příkladu.
Limita této posloupnosti hraje v matematické analýze významnou roli. Označujeme ji e
a nazýváme Eulerovo číslo:

lim

n→∞

1 +

1

n

n

= e = 2, 718 281 828 459 ...

Věty o nevlastních limitách

Věta 2.21.

1.

lim

x→a

f (x) = ∞

⇔ lim

x→a

(−f (x)) = −∞

2.

lim

x→a

f (x) = ±∞ ⇒

lim

x→a

|f (x)| = ∞

3.

lim

x→a

|f (x)| = ∞

⇔ lim

x→a

1

f (x) = 0

4.

lim

x→a

f (x) = ∞, g(x) ohraničená ⇒

lim

x→a

[f (x) + g(x)] = ∞

5.

lim

x→a

f (x) = ∞, g(x) ≥ c, c > 0

⇒ lim

x→a

[f (x) · g(x)] = ∞

Věty 4., 5. jsou formulovány pro nevlastní limitu ∞ avšak z věty 1. plyne jejich platnost
i pro bod −∞ . Kromě toho podmínky položené na funkci g stačí vztáhnout na některé
okolí bodu a. Zaměníme-li ve větě 5. podmínku g(x) ≥ c na g(x) ≤ −c, bude limita
součinu −∞. navíc z věty 3. a 5. plyne

6.

lim

x→a

f (x) = 0, g(x) ohraničená ⇒

lim

x→a

[f (x) · g(x)] = 0

Příklad 2.22. lim

x→0

x sin

1

x = 0, protože funkce sin je ohraničená a lim

x→0

x = 0.

Obr. 2.7: f (x) = sin

1
x

Obr. 2.8: f (x) = x sin

1
x

64

Diferenciální počet

Příklad 2.23. Podobně ukážeme, že pro funkci f definovanou předpisem

f (x) = x · χ(x) =

 x x ∈ (Q)

0

x 6∈ (Q)