Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

u =

x

c .

d) Návod: Použijeme větu o limitě složené funkce tak, že za vnitřní složku volíme funkci

u =

1
x .

Pro výpočet limit můžete použít tento Maplet, pro limity posloupností tento Maplet.

Asymptoty grafu funkce

Pojem asymptoty je nám znám u hyperbol – např. graf funkce f (x) =

1
x je rovnoosá

hyperbola se svislou asymptotou x = 0 a vodorovnou asymptotou y = 0, horní větev
hyperboly y2 − x2 = 1 – graf funkce f (x) =

√

1 − x2 má asymptoty y = ±x; zajímají

nás tedy „tečny grafu funkce v nekonečnuÿ, které budeme vyšetřovat pomocí limit v této
kapitole.

70

Diferenciální počet

Definice 2.29.

a) Přímka x = a se nazývá asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou)

grafu funkce f , jestliže

lim

x→a−

f (x) = ±∞,

nebo

lim

x→a+

f (x) = ±∞.

b) Přímka y = ax + b se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f , jestliže

lim

x→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0,

nebo

lim

x→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Místo asymptota grafu funkce f říkáme také stručněji asymptota funkce f .

Věta 2.30.

1. Jestliže je přímka y = ax + b asymptotou funkce f , potom

a = lim

f (x)

x

,

b = lim[f (x) − ax],

kde lim je buď

lim

x→∞

nebo

lim

x→−∞

.

2. Naopak, jestliže existují vlastní limity z 1., potom přímka y = ax + b je asymptotou

funkce f .

Příklad 2.31. Máme najít asymptoty funkce f : f (x) = x +

1

x − 1

.

Řešení. lim

x→1+

x +

1

x−1

 = ∞,

lim

x→1−

x +

1

x−1

 = −∞.

Je tedy přímka x = 1 svislou asymptotou
funkce f .

Protože
a = lim

x→±∞

f (x)

x

= lim

x→±∞

1 +

1

x(x−1)

= 1,

b = lim

x→±∞

(f (x) − ax) = lim

x→±∞

1

x−1 = 0,

je přímka y = x jedinou asymptotou se směr-
nicí funkce f .