Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

i)

f (x) = x e1/x

2

,

j)

f (x) = x ln(e +

1
x ),

k) f (x) = x arctg x,

l)

f (x) = arctg

1
x .

Výsledky

1. a)

15

2

, b)

1
2

, c) 6, d) ∞, e)

1
8

, f) 6−100;

2. a)

1
4

, b) 0, c) 0, d) 1;

3. a)

5
6

, b) 1, c) 1, d) ∞;

4. a) 0; −∞, b) 0; 1, c) 0;

3
2

, d) −2; 2, e) 1; −1, f)

π

2

; −

π

2

;

5. a) e, b) e3, c) 1, d) 0, e)

1
2

, f) 1 pro a > 1,

1
2

pro a = 1, 0 pro a < 1.

6. a) x = 2, y = 3x, b) x = −1, x = 0, x = 1, y = 0, c) x = −2, x = 2, y = x, d) x = −1, x = 1, y = x, e) y = x +

4
3

,

f) x = 1/

√

2, x = −1/

√

2, y =

1
2

, g) x = 0, y = 2x, h) y = 0, i) x = 0, y = x, j) x = −

1
e

, y = x+

1
e

, k) y = ±

π

2

x−1, l) y = 0;

2.3

Spojitost

Pomocí limity se zavádí pojem spojitosti funkce (zobrazení):

Definice 2.32. Funkce f se nazývá spojitá v bodě a, platí-li lim

x→a

f (x) = f (a); to

znamená, že

a)

a ∈ Df , tj. f (a) je definováno,

b)

lim

x→a

f (x) existuje,

c)

lim

x→a

f (x) = f (a).

Tuto definici můžeme zapsat ve tvaru

∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.

Analogicky můžeme definovat spojitost zleva a zprava:

Definice 2.33. Funkce f se nazývá spojitá zprava (resp. zleva) v bodě a, jestliže

lim

x→a+

f (x) = f (a),

resp. lim

x→a−

f (x) = f (a)

.

2.3 Spojitost

77

Pro snazší zápis budeme používat označení:

f (a+) = lim

x→a+

f (x), f (a−) = lim

x→a−

f (x).

Intuitivní představa o spojitosti je taková, že graf spojité funkce „se dá nakreslit nepře-
rušovanou čarouÿ; naše definice ale hovoří o spojitosti v bodě. V následujícím příkladu si
ukážeme, že může existovat funkce spojitá pouze v jednom bodě, i když její graf přesně
nakreslit nelze: