Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
spojité funkce
a)
f + g
b)
f g
c)
f ◦ g
d)
g ◦ f.
Uveďte příklady.
5. Nechť funkce f i g jsou v bodě a nespojité. Zjistěte, zda mohou být v bodě a spojité
funkce
a)
f + g
b)
f g
c)
f ◦ g
d)
g ◦ f.
Uveďte příklady.
6. Jsou dány funkce f a g předpisy
f (x) =
x
0 < x ≤ 1
2 − x 1 < x < 2
g(x) =
x
x ∈ Q
2 − x x 6∈ Q
Zjistěte, kde jsou spojité složené funkce f ◦ g a g ◦ f .
7. Nechť f je funkce spojitá na Df = R. Existuje nutně číslo x tak, že f (x) = x?
8. Nechť f je spojitá funkce s Df = h0, 1i, pro kterou platí f (0) = 1 a f (1) = 0.
Existuje nutně číslo x tak, že f (x) = x?
Cvičení
1. Zjistěte, kde jsou spojité následující funkce; body nespojitosti klasifikujte:
a)
f (x) =
(
x
x − |x|
x < 0
x
x ≥ 0
b)
f (x) =
x sin 1
x
x 6= 0
0
x = 0
c)
f (x) = sgn(sin x)
d)
f (x) = x
ln x
e)
f (x) =
3
x < 0
2 − x2 x ≥ 0
f)
f (x) = 1 − 2e
x2
1 − ex
2
2. Najděte číslo a tak, aby funkce f byla spojitá:
a)
f (x) =
a x
x < 1
2 − x/a x ≥ 1
b)
f (x) =
eax
x < 0
a − x x ≥ 0
c)
f (x) =
sin x
x
x 6= 0
a
x = 0
2.4 Derivace
83
3. Ukažte, že daná rovnice má na intervalu J řešení:
a)
x3 − x − 1 = 0,
J = h1, 2i
b)
x4 − 4x3 + 2x2 + 5x − 3 = 0,
J = h−1,1; −1i
c)
ln x − 3 + x = 0,
J = h1, ei
Výsledky
1. a) R \ {0}, v 0 skok
1
2
, b) R, c) R \ {kπ}, skok ±2, d) (0, 1) ∪ (1, ∞), v 1 nespojitost 2. druhu, e) R \ {0}, v 0 skok −1, f)
R \ {0}, v 0 nespojitost 2. druhu;
2. a),b),c) a = 1.