Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad 2.34. Nechť funkce f je definovaná předpisem f (x) = x · χ(x) =

 x x ∈ (Q)

0

x 6∈ (Q)

V kapitole o limitě jsme v příkladu 2.23 ukázali, že platí lim

x→0

x · χ(x) = 0, a protože

f (x) = 0, je funkce f pro x = 0 spojitá.

Klasifikace nespojitostí

Definice 2.35.

• Existují-li pro funkci f v (konečném) bodě a (konečná) čísla f (a−), f (a+) a má-

li funkce v a přesto bod nespojitosti, říkáme, že tato funkce má v bodě a bod
nespojitosti prvního druhu.

Číslo δ = δ(a) = f (a+) − f (a−) se nazývá skok nespojitosti.

Je-li δ(a) = 0, říkáme, že funkce f má v tomto bodě odstranitelnou nespojitost.

Je-li δ(a) 6= 0, nazývá se bod x = a bodem skokové nespojitosti.

• Je-li funkce f definována v okolí bodu a (popřípadě s výjimkou bodu a samotného)

a má-li v bodě a bod nespojitosti, který není bodem nespojitosti prvního druhu,
říkáme, že funkce má v a bod nespojitosti druhého druhu.
Jinak řečeno: Funkce f má v bodě a nespojitost druhého druhu, jestliže v bodě a
některá jednostranná limita neexistuje nebo je nevlastní.

Příklad 2.36. V obr.2.11 je graf jisté funkce f definované na intervalu (−2, 6i. Vyšetřeme
její spojitost v bodech −2, 1, 2, 3, 4, 6.

Obr. 2.11: Funkce f z příkladu 2.36

f (x) =

2

pro x ∈ (−2, 2i

x − 1

x ∈ (2, 3)

3

x = 3

5 − x

x ∈ (3, 4i

1

x−4

x ∈ (4, 6i

78

Diferenciální počet

Řešení.

a) x = −2: Bod −2 nepatří do definičního oboru funkce f ; nemůžeme mluvit ani o

spojitosti ani o nespojitosti funkce v tomto bodě.

b) x = 1: V bodě 1 je zřejmě funkce f spojitá.

c) x = 2 :

lim

x→2−

f (x) = 2 6= lim