Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

x→2+

f (x) = 1, funkce zde má skokovou nespojitost se

skokem δ = 1 − 2 = −1.

d) x = 3 : lim

x→3

f (x) = 2 6= f (3) = 3, funkce zde má odstranitelnou nespojitost.

e) x = 4 :

lim

x→4−

f (x) = 1 = f (4), lim

x→4+

= ∞, funkce zde má nespojitost druhého dru-

hu, přičemž je zde spojitá zleva.

f) x = 6 :

lim

x→6−

f (x) =

1
2 = f (6), x = 6 je pravý koncový bod definičního intervalu –

funkce je zde spojitá (zleva).

Příklad 2.37.

a) Funkce y = sin

1

x má v bodě x = 0 nespojitost druhého druhu, protože lim

x→0

sin

1
x

neexistuje (ani jednostranné limity), tedy nejsou rovny žádnému konečnému číslu.

b) Funkce f (x) =

sin x

x

má v bodě x = 0 odstranitelnou nespojitost.

Pro spojité funkce platí následující věty:

Věta 2.38.

• Funkce f je spojitá v bodě a, právě když je zde spojitá zprava i zleva.

• Je-li funkce f spojitá v bodě a, pak existuje okolí U (a), v němž je f ohraničená.

• Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak jejich součet (nebo rozdíl ) f ± g, součin

f · g a podíl

f

g ( v případě, že g(a) 6= 0) jsou také spojité v bodě a.

• Je-li funkce g spojitá v bodě a a funkce f v bodě b = g(a), pak složená funkce

F = f ◦ g, F (x) = f [g(x)], je spojitá v bodě a.

První tři tvrzení vyplývají přímo z analogických tvrzení pro limity; poslední plyne z věty o limitě složené funkce pouze

v případě, že vnitřní složka není na nějakém okolí bodu a konstantní; pro tento vyjímečný případ se důkaz musí provést

jinak - provádět ho nebudeme.

V předchozí kapitole (o limitě) jsme ukázali, že limity známých funkcí, jako je polynom,
racionální lomená funkce, obecné mocniny, exponenciální a goniometrické funkce se
počítají dosazením - odtud vyplývá: