Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Shrnutí
V této kapitole jsme se věnovali základnímu prostředku, s nímž pracuje matematická
analýza – pojmu limity. Definovali jsme
• limitu funkce f v bodě a:
lim
x→a
f (x) = b, jestliže k libovolnému okolí U (b) limity
b existuje okolí U (a) bodu a tak, že funkce f zobrazí množinu U ∗(a) ∩ Df do
předem zvoleného U (b), přitom jsme připustili i možnosti a = ±∞ resp. b = ±∞,
• limitu zleva resp. zprava:
podmínku v definici limity klademe pouze na body
x < a resp. x > a; tedy např. lim
x→a−
f (x) = b, jestliže k libovolnému okolí U (b)
limity b existuje okolí U (a) bodu a tak, že funkce f zobrazí množinu U ∗(a) ∩
∩ Df ∩ (−∞, a) do předem zvoleného U(b),
• speciálně limitu posloupnosti (an):
lim
n→∞
an = b, jestliže k libovolnému okolí
U (b) limity b existuje číslo K tak, že pro všechny indexy n, pro které platí
n > K, je an ∈ U (b).
72
Diferenciální počet
Dále jsme odvodili pravidla pro počítání limit:
• jsou-li f, g funkce a obě limity lim
x→a
f (x) a lim
x→a
g(x) existují a jsou konečné, platí
1. lim
x→a
(f (x) ± g(x)) = lim
x→a
f (x) ± lim
x→a
g(x),
2. lim
x→a
kf (x) = k lim
x→a
f (x)
pro každou konstantu k ∈ R,
3. lim
x→a
f (x)g(x) = lim
x→a
f (x) lim
x→a
g(x),
4. lim
x→a
f (x)
g(x) =
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x) ,
je-li lim
x→a
g(x) 6= 0,
5. lim
x→a
f (x)g(x) =
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
,
je-li lim
x→a
f (x) > 0;
• je-li lim
x→a
f (x) = 0 a |g(x)| < K, je lim
x→a
f (x)g(x) = 0;
• pro nevlastní limity platí
1. lim
x→a
f (x) = ∞
⇔
lim
x→a
(−f (x)) = −∞,
2. lim
x→a
|f (x)| = ∞
⇔
lim
x→a
1
f (x) = 0,
3. lim
x→a
f (x) = ∞ ∧ |g(x)| < K,