Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
5x
√
2x + 1
Řešení.
a) Limita čitatele i jmenovatele je rovna nule; zlomek upravíme tak, abychom (analo-
gicky jako u racionální lomené funkce) příslušný kořenový činitel vykrátili:
lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
= lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
√
2 + x +
√
2
√
2 + x +
√
2
=
= lim
x→0
2 + x − 2
x
1
√
2 + x +
√
2
= lim
x→0
1
√
2 + x +
√
2
=
√
2
4
.
Při výpočtu limity jmenovatele jsme použili větu o limitě složené funkce:
lim
x→0
√
2 + x =
q
lim
x→0
(2 + x) =
√
2.
b) Zde můžeme jmenovatele rozložit jako rozdíl třetích mocnin:
lim
x→4
√
x − 2
√
x3 − 8
= lim
x→4
√
x − 2
(
√
x)3 − 23
= lim
x→4
√
x − 2
(
√
x − 2)(x + 2
√
x + 4)
=
= lim
x→4
1
x + 2
√
x + 4
=
1
12
.
68
Diferenciální počet
c) Využijeme známé limity lim
x→0
sin x
x
= 1 s vnitřní složkou x = kt pro vhodné k.
Nejdříve čitatele i jmenovatele zlomku dělíme x a jednotlivé vzniklé zlomky rozšíříme
vhodnou konstantou:
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
= lim
x→0
sin 4x
x
+
sin 7x
x
sin 3x
x
= lim
x→0
4
sin 4x
4x
+ 7
sin 7x
7x
3
sin 3x
3x
=
4 + 7
3
=
11
3
.
d) Položíme x =tg t (pro t → 0 je x → 0):
lim
x→0
x
arctg x
= lim
t→0
tg t
arctg(tg t)
= lim
t→0
tg t
t
= lim
t→0
sin t
t cos t
= 1.
e) Využijeme známou goniometrickou identitu 1 − cos2 x = sin
2 x a opět větu o limitě
složené funkce:
lim
x→0
1 − cos x
x2
= lim
x→0
(1 − cos x)(1 + cos x)
x2(1 + cos x)
= lim
x→0
sin x
x
2
1
1 + cos x
=
1
2
.
f) Postupnými úpravami dostaneme
lim
x→0
tgx − sin x
sin
3 x
= lim
x→0
sin x(
1
cos x − 1)
sin
3 x
= lim
x→0
1 − cos x
cos x sin
2 x
1 + cos x
1 + cos x
=
= lim
x→0
1
cos x(1 + cos x)
=
1
2
.
g) Limita čitatele i jmenovatele je ∞; budeme postupovat analogicky jako u limit raci-