Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
| sin x| ≤ 1,
| cos x| ≤ 1. Protože
sin x − sin a = 2 sin
x − a
2
cos
x + a
2
,
je
| sin x − sin a| ≤ 2
x − a
2
= |x − a|.
Odtud podle a) je lim
x→a
sin x = sin a.
c) Analogicky se dokáže tvrzení lim
x→a
cos x = cos a.
2.
lim
x→0
sin x
x
= 1.
(Tuto limitu v nule budeme potřebovat při odvození derivace sin(x) a navíc funkce
f (x) =
sin(x)
x
, vystupuje odborných technických aplikacích.)
2.2 Limita
61
Pro
x ∈
0,
π
2
resp.
x ∈
−
π
2
, 0
platí nerovnosti
sin x ≤ x ≤ tg x,
resp.
tg x ≤ x ≤ sin x,
které se názorně ověří pomocí zobrazení funkcí sin x, tg x na jednotkové kružnici
(obrázek vpravo)
Tedy pro x ∈ −
π
2 ,
π
2
x 6= 0 platí
cos x ≤
sin x
x
≤ 1.
Víme, že
lim
x→0
1 = 1,
kromě toho také
lim
x→0
cos x = 1
Zbytek plyne z věty o sevření.
Obr. 2.6: K výpočtu lim
x→0
sin x
x
Pro výpočet limit je velmi důležitá následující věta o aritmetických operacích:
Věta 2.17. o aritmetických operacích pro limity Nechť funkce f, g mají vlastní
limity v bodě a a platí lim
x→a
f (x) = b a lim
x→a
g(x) = c, pak
lim
x→a
[f (x) ± g(x)] = b ± c,
lim
x→a
f (x)g(x) = b · c,
je-li navíc c 6= 0 , platí
lim
x→a
f (x)
g(x)
=
b
c
Důkaz věty naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Příklad 2.18. Limita polynomu:
lim
x→a
P (x) = P (a), kde P (x) = anx
n + a
n−1x
n−1 + · · · + a
1x + a0 je polynom.
Řešení. Vyšetřujme limitu k-tého členu polynomu s použitím věty 2.17 a příkladu 2.8.
Dostáváme lim
x→a
akx
k = lim
x→a
ak · (lim
x→a
x)k = aka
k
a odtud lim
x→a
P (x) = lim
x→a
n
P
k=0
akx
k =
n
P
k=0
lim
x→a
akx
k =
n
P
k=0
aka
k = P (a).
62
Diferenciální počet
Je-li nějaká funkce f ohraničená (např. shora, f (x) ≤ c, c ∈ R) a přitom rostoucí, musí
být (podle věty o nerovnostech) její limita lim