Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

limx→a cos x = cos a. Tomu se budeme věnovat v tomto odstavci,

uvedeme (převážně bez důkazu) některé věty o limitách reálných funkcí, jejichž platnost
umožní počítal limity dosazením.

Věta 2.16. Limity a nerovnosti

1. Nechť lim

x→a

f (x) < lim

x→a

g(x). Potom existuje okolí U (a) tak, že pro všechna x ∈ U ∗(a)∩

∩ Df ∩ Dg platí f (x) < g(x).

2. Nechť existují limity lim

x→a

f (x) = b, lim

x→a

g(x) = c a na jistém okolí U ∗(a) platí

f (x) ≤ g(x) . Potom je b ≤ c .

3. (O sevření) Nechť lim

x→a

f (x) = lim

x→a

h(x) = b a na jistém ryzím okolí bodu a platí

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Potom také lim

x→a

g(x) = b.

60

Diferenciální počet

Řečeno vlastními slovy: platí-li jistá (ostrá) nerovnost mezi limitami dvou funkcí v

nějakém bodě, platí na nějakém okolí tohoto bodu stejná nerovnost i mezi funkčními
hodnotami těchto funkcí; a naopak platí-li na jistém okolí nějaká (i ostrá) nerovnost mezi
funkčními hodnotami dvou funkcí, platí (neostrá!) nerovnost mezi limitami; třetí tvrzení
charakterizuje jeho název. Větu nebudeme dorazovat.

Užitím vět o nerovnostech a limitách ukážeme, že platí

1. Pro libovolné a ∈ R platí

lim

x→a

sin x = sin a,

lim

x→a

cos x = cos a.

a) Nejdříve ověříme pomocné tvrzení:

Platí-li ∀ x ∈ U ∗(a) ∩ Df

|f (x) − b| ≤ k|x − a|,

kde a, b, k ∈ R, k > 0, potom

lim

x→a

f (x) = b.

Zvolme libovolně okolí U (b, ε).
Položíme-li δ = ε/k, je U ∗(a) = {x ∈ R, 0 < |x − a| < ε/k}. Platí tedy

|f (x) − b| ≤ k|x − a| < k

ε

k

= ε,

tedy lim

x→a

f (x) = b.

b) Použijeme nerovnost | sin x| ≤ |x| která platí pro každé x ∈ R, a nerovnosti