Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f (x) =

ϕ(x) − ϕ(a)

x − a

,

jestliže se hodnoty argumentu x blíží k číslu a, což často značíme x → a. V uvedeném
fyzikálním významu daného podílu se ptáme, jak se mění průměrná rychlost pohybu, když
se časový úsek zkracuje.

Je zřejmé, že musí být stále x 6= a a že jmenovatel se blíží k nule; obvykle se blíží k nule
i čitatel. Jakých hodnot však při tom nabývá podíl, tj. jaké jsou hodnoty funkce f (x)?
Uvedeme několik příkladů.

Příklad 2.4.

a) Nechť ϕ(x) = x2, a = 1. Potom

f (x) =

x2

− 1

x − 1

.

Pro x 6= 1 je hodnota funkce f rovna

f (x) =

(x + 1)(x − 1)

x − 1

= x + 1.

Když x → 1 (přičemž stále x 6= 1), pak f (x) → 2 (viz obr. 2.3).

Jinak formulováno: K libovolně malému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x,
pro něž je 0 < |x − 1| < δ, platí |f (x) − 2| < ε, neboli

pro x ∈ (1 − δ, 1 + δ), x 6= 1 platí f (x) ∈ (2 − ε, 2 + ε).

b) Nechť ϕ(x) = 3

√

x, a = 0. Potom

f (x) =

3

√

x

x

.

Pro x 6= 0 je

f (x) =

1

3

√

x2

.

Jestliže x → 0, pak hodnoty f (x) neomezeně vzrůstají, protože jmenovatel zlomku se
blíží v kladných hodnotách k nule a čitatel je stále roven 1 (viz obr. 2.4). Formulováno
přesněji:

Zvolíme-li libovolně velké K > 0, můžeme nalézt δ > 0 tak, že pro každé x 6= 0, pro
něž je |x| < δ, platí f (x) > K.

c) Nechť ϕ(x) = |x|, a = 0. Potom

f (x) =

|x|

x

=

x
x = 1

x > 0

−x

x

= −1 x < 0

,

tedy funkční hodnoty dané funkce se „zlevaÿ blíží k −1 a „zpravaÿ k 1 (viz obr. 2.5)
.

2.2 Limita