Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

− 2

x+1

, d)

2

x−2

− 2

x−1

−

2

(x−1)2

+

1

(x−1)3

, e)

1

2(x−1)2

+

9

2(x−5)2

,

f) 1 −

1
x

x

x2+1

, g)

1

2(x+1)

+

1

4(x+1)2

+

1−2x

4(x2+1)

−

x

2(x2+1)2

, h)

1

52(x−4)

−

1

20(x−2)

+

4x+11

130(x2+2x+2

, i)

1

(x−2

− 1

x+2

+

x−4

x2−2x+4

−

−

x+4

x2+2x+4

, j)

4

x2

−

1

x2+1

−

7

(x2+1)2

, k)

2−x

√

2

4(x2−x

√

2+1)

+

2+x

√

2

4(x2+x

√

2+1)

, l)

1

2(x−3)2

−

2x−1

2(x2−4x+5)

.

52

Diferenciální počet

2

Diferenciální počet

2.1

Úvodní poznámky – motivace

Při řešení úloh z fyziky, chemie, technických a jiných vědních oborů, při matematické
formulaci zákonů v přírodních vědách užíváme často pojmy jako např. derivace, integrál,
diferenciální rovnice. Uveďme několik příkladů:

Příklad 2.1. Problém nalézt rozměry čtvercového otevřeného bazénu daného objemu V
tak, aby na obložení jeho stěn bylo zapotřebí co nejméně materiálu, vede k úloze určit
nejmenší hodnotu funkce

S =

4V

x

+ x

2,

x > 0,

kde S je celkový plošný obsah stěn bazénu, x strana čtvercového dna; hloubka bazénu je
y = V /x2. Řešením úlohy vychází

x =

3

√

2V ,

y =

3

p

1
4 V .

Hodnotu x jsme získali jako kořen rovnice

−

4V

x2

+ 2x = 0,

jejíž levá strana je derivací funkce S podle proměnné x.

Obr. 2.1: RL obvod

Obr. 2.2: i(t) =

U
R (1 − e

−(R/L)t)

Příklad 2.2. V obrázku 2.1 je schematicky znázorněn elektrický obvod s rezistorem od-
poru R a induktorem indukčnosti L připojený na zdroj konstantního napětí U . Po zapnutí

2.2 Limita

53

spínače začne obvodem protékat proud i. Pro jeho průběh v závislosti na čase dostaneme
užitím Kirchhoffova zákona vztah

Ri + L

di

dt

= U.

Druhý člen na levé straně této rovnice, zvané diferenciální, tj. součin indukčnosti L a de-
rivace di/dt funkce i = i(t), udává indukované napětí na induktoru. Řešením diferenciální
rovnice je funkce

i(t) =

U

R

1 − e

−(R/L)t .

Průběh proudu je znázorněn na grafu této funkce v obrázku 2.2.