Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

−1)),
g(f (−2)), g(g(1)), g(g(−1)).

c) Řešte vzhledem k x:

f (x) = 0, g(x) = 0, f (x) = x, g(x) = x, f (x) = g(x),

f (g(x)) = 1, g(f (x)) = 1.

d) Dokažte, že f (x) ≥ 0 pro všechna x.

e) Zjistěte, kdy je g(x) < 0.

f) Dokažte, že f (g(x)) ≥ 0 pro všechna x.

g) Existuje inverzní funkce k f ?

h) Existuje inverzní funkce k g ◦ f ?

i) Najděte předpis pro funkci f ◦ g a nakreslete její graf.

Cvičení

1. Nechť funkce f je definovaná předpisem f (x) =

√

x. Určete

a)

f (9),

b)

f (u),

c)

f (x + 1),

d)

f (x2).

2. Nechť funkce h je definovaná předpisem h(x) =

x

x+1 . Určete

a)

h(−x),

b)

h(x + 1),

c)

h

1
x

, d) h[h(x)].

3. Nechť funkce p je definovaná předpisem p(x) =

1

x − 1. Ověřte, zda platí

a)

p(x) + p(−x) = −2,

b)

p(2x) =

1
2 [p(x) − 1],

c)

p(1 − x) =

1

p(x) ,

d)

−1

p(x+1) = p(x) + 2,

e)

1

p(x)+1 = p

1
x

 + 1.

4. Jsou dány funkce

a) f (x) = arcsin(cos x),

b) f (x) =

 cos x pro x ∈ h−π, 0),

sin x

pro x ∈ h0, πi.

Najděte hodnoty
a) f (0), f (−π), f (3π), f (

π

2 ), f (

π

4 );

b) f (0), f (−

π

2 ), f (

π

4 ), f (3), f (4).

1.2 Funkce, zobrazení

45

5. Najděte funkce f, g, pro které platí

a)

f (x) = ax + b,

f (3) = −3, f (−2) = 4,

b)

g(x) = ax2 + bx + c,

g(0) = 1, g(−1) = 2, g(3) = 18.

Vypočtěte f (

1
2 ), f (1), g(

1
2 ), g(1).

6. Najděte (přirozené) definiční obory následujících funkcí f , je-li f (x) rovno:

a)

7x2 + 6x + 5

x2 − 1

, b)

2x + 3

x2 + 3x + 2

,

c)

√

x2 − 4,

d)

p(3x − 2)2,

e)

1

√

x − 3

,

f)

3

√

x2 − 25

,

g)

q x + 1

x − 1

,

h)

p(x − 2)(x + 3),

i)

x

|x|

,

j)

|x| + [x],

k)