Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

28. Nechť funkce f je periodická s periodou p. Je-li a 6= 0, jakou periodu má funkce

f (ax)?

29. Ukažte, že platí:

a) Všechny konstantní funkce jsou ohraničené.

b) Je-li funkce f na intervalu I ohraničená, je i funkce −f na I ohraničená.

c) Jsou-li funkce f a g ohraničené na intervalu I, jsou také funkce f + g a f g na

intervalu I ohraničené.

30. Ve druhém sloupci najděte funkce inverzní k funkcím v prvním sloupci:

f1(x) =

1

x + 2

, g1(x) =

x

1 − x

,

f2(x) =

x

x − 1

, g2(x) =

x

x − 1

,

f3(x) = 3 + 1

x , g3(x) =

1

x − 2,

f4(x) = x

2

− 2, g4(x) =

1

x − 3

,

f5(x) =

x

x + 1

, g5(x) = 2x + 4.

31. Může být funkce sama k sobě inverzní?

32. Ukažte, že inverzní funkce k prosté liché funkci je opět lichá. Co můžeme říci o

inverzní funkci k prosté sudé funkci?

33. Co je to složená funkce?

34. Ověřte, že pro definiční obor složené funkce f ◦ g platí Df◦g = g

−1(D

f ).

35. Ukažte, že každá z následujících funkcí splňuje vztah f (f (f (x))) = x:

a) f (x) = 1 − 1

x ,

b) f (x) = 2 −

1

x − 1

,

c) f(x) = −

1

x + 1

, d) f (x) = a −

1

x + b

, kde a + b = 1.

44

Úvod

36. Nechť pro funkce f, g, h definované na intervalu I platí f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ I

a nechť jsou tyto funkce na I rostoucí. Ukažte, že platí f (f (x)) ≤ g(g(x)) ≤ h(h(x)).

37. Jsou dány funkce f a g pomocí vztahů

f (x) =

|x|

pro x < 1,

2x − 1 pro x ≥ 1,

g(x) =

 2 − x2 pro x < 0,

x + 2

pro x ≥ 0.

a) Načrtněte jejich grafy.

b) Najděte:

f (g(0)), f (g(1)), f (g(−2)), f (f (−1)), f (f (−2)), g(f (0)), g(f (−