Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

g(x)

a

−2

3

b

0

−1

c

1

5

d

N

−3

e

2

N

Najděte funkce f + g, f − g, f /g, g/f, f 2 − f g + 3.

19. Pro funkci f platí

f (x + 1) = f (x) + f (1) + 1 ∀x ∈ R.

a) Čemu se rovná f (0)?

b) Je-li navíc f (1) = 1, najděte

f (2), f (3), f (−1).

20. Pro funkci g platí

g(x + y) = g(x) + g(y) ∀x, y ∈ R.

a) Čemu se rovná g(0)?

b) Ukažte, že platí

g(−x) = −g(x), g(2x) = 2g(x) ∀x ∈ R.

c) Je-li navíc g(1) = 1, najděte

g(2), g(3), g(

1
2 ).

21. Najděte alespoň tři příklady funkce f pro kterou platí obě následující podmínky:

a) f (x + y) = f (x) + f (y),

b) f (ax) = af (x).

Pokuste se formulovat obecný předpis pro funkce s těmito vlastnostmi.

22. Je-li funkce f rostoucí, je nutně

a) funkce 2f rostoucí

b) funkce −f klesající,

c) funkce f 2 rostoucí,

d) funkce

1

f klesající (pro všude nenulovou funkci f )?

23. Nechť funkce f, g jsou definovány na stejném intervalu.

a) Jsou-li funkce f i g rostoucí, je i funkce f + g rostoucí?

b) Najděte rostoucí funkci f a klesající funkci g tak, aby funkce f +g byla rostoucí.

24. Nechť f je lichá funkce, která je definovaná pro x = 0. Jakou zde má funkční

hodnotu?

1.2 Funkce, zobrazení

43

25. Najděte k tak, aby funkce

a) f (x) = x2 + kx + 1 byla sudá,

b) f (x) = x3 − kx2 + 2x byla lichá.

26. Ukažte, že pro libovolnou funkci f definovanou na intervalu (−k, k), k > 0 platí, že

f (x) + f (−x) je sudá a f (x) − f (−x) je lichá funkce.

27. Nechť jsou funkce f a g periodické se stejnou periodou. Ukažte, že funkce f +

+ g, f g, f /g jsou také periodické.