Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Pro cyklometrické funkce platí (pro libovolné x z definičního oboru těchto funkcí):

arcsin x + arccos x =

π

2

arctg x + arccotg x =

π

2

Funkce arcsin a arctg jsou rostoucí liché funkce, funkce arccos a arccotg jsou klesající

funkce.

Poznámka 1.46.

V odborných předmětech se dále ještě používají hyperbolické funkce, se kterými se můžete seznámit

v části pro zájemce na konci kapitoly.

Každou funkci, která vznikne z konečného počtu výše uvedených funkcí, tedy konstant,
mocninných, exponenciálních a logaritmických funkcí, trigonometrických a cyklometric-
kých funkcí, pomocí konečného počtu aritmetických operací (tedy sečítání, odečítání,
násobení a dělení) a tvoření složené funkce, nazýváme elementární funkcí.

1.2 Funkce, zobrazení

35

Obr. 1.26: arcsin x, arccos x

Obr. 1.27: arctg x, arccotg x

Jak se mění grafy elementárních funkcí při změně některých parametrů si můžete

vyzkoušet v tomto Mapletu.

Posloupnosti

Posloupností nazýváme každou funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených
čísel N, tedy f : N → R je posloupnost reálných čísel. Obvykle klademe

an = f (n)

a tuto hodnotu nazýváme n-tým členem posloupnosti . Posloupnost s n-tým členem
an označujeme symbolem (an)

∞
n=1 nebo zkráceně (an).

Je-li zadán předpis pro výpočet n-tého členu posloupnosti pomocí předchozího (resp.

pomocí k předchozích členů), tedy pomocí an−1 (resp. an−1, an−2, . . . , an−k) spolu se
zadáním hodnoty a1 (resp. hodnot a1, a2, . . . , ak), říkáme, že posloupnost je zadaná
rekurentně.

Příklad 1.47. Posloupnost daná rekurentním vztahem

an+2 = an+1 + an,

kde

a1 = a2 = 1,

tedy

(an) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . )

se nazývá Fibonacciho posloupnost. Tato posloupnost má strukturu, kterou pozorujeme
v mnohých situacích, které v sobě mají obsažen růst – ať už jde o růst rostlin nebo o růst
počítačové databáze. Dá se ukázat, že pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti platí