Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
x − 1
+
x + 2
x2 + x + 3
=
2x2 + 2x + 1
(x − 1)(x2 + x + 3)
.
Naopak také každá ryze lomená racionální funkce, jestliže umíme najít kořeny jejího
jmenovatele, se dá rozložit na součet jednoduchých zlomků určitého tvaru – budeme jim
říkat parciální zlomky.
Věta o rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky, jestliže se formuluje
přesně, je velmi nepřehledná. Naznačíme postup:
V rozkladu podílu
Pm(x)
Qn(x)
na parciální zlomky odpovídá každému kořenovému činiteli
jmenovatele (x − α)k součet k parciálních zlomků tvaru
Ak
(x − α)k
+
Ak−1
(x − α)k−1
+ · · · +
A1
(x − α)
a každému faktoru (x2 + px + q)t odpovídá součet t parciálních zlomků tvaru
Btx + Ct
(x2 + px + q)t
+
Bt−1x + Ct−1
(x2 + px + q)t−1
+ · · · +
B1x + C1
(x2 + px + q)
.
Rozklad má tedy tvar
Pm(x)
Qn(x)
=
Ak
(x − α)k
+
Ak−1
(x − α)k−1
+ · · · +
A1
(x − α)
+ · · · +
30
Úvod
+
Btx + Ct
(x2 + px + q)t
+
Bt−1x + Ct−1
(x2 + px + q)t−1
+ · · · +
B1x + C1
(x2 + px + q)
.
Neznámé koeficienty v rozkladu vypočítáme metodou neurčitých koeficientů.
Tato metoda se opírá o větu o rovnosti polynomů – dva polynomy jsou si rovny, rovnají-li
se jejich koeficienty u stejných mocnin. Postup naznačíme na příkladech:
Příklad 1.44.
R(x) =
2x3 + x + 2
x4 + x3 + x2
=
2x3 + x + 2
x2(x2 + x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
Cx + D
x2 + x + 1
.
Poslední součet tří zlomků opět převedeme na společného jmenovatele, kterým je, pocho-
pitelně, jmenovatel původně zadaného zlomku. Porovnáme čitatele:
2x3 + x + 2 = A(x2 + x + 1) + Bx(x2 + x + 1) + x2(Cx + D),
2x3 + x + 2 = (B + C)x3 + (A + B + D)x2 + (A + B)x + A.