Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

e) a ∈ Q, a =

p
q , kde p, q ∈ Z, q 6= 0 a a není z a) – d). Potom je

f (x) = x

p
q

= (x

p)

1
q

=

q

√

xp.

Pro p/q > 0 je funkce f definovaná pro x ∈ h0, ∞), pro p/q < 0 je funkce f definovaná
pro x ∈ (0, ∞).

f) Pro a iracionální je mocninná funkce definovaná na intervalu h0, ∞) pro a > 0 a na

intervalu (0, ∞) pro a < 0.

Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem

f (x) = a

x, a > 0.

Je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1. Pro a = 1 jde o konstantu f (x) = 1.

Logaritmická funkce při základu a, kde 0 < a < 1 nebo a > 1 je definovaná na intervalu
(0, ∞) a je inverzní funkcí k exponenciální funkci f (x) = ax. Označuje se předpisem

f (x) = log

a x.

Je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1.

Logaritmická funkce při základu e = 2,718281828 . . . se stručně nazývá jen logaritmická
funkce a označuje se ln x. Logaritmickou funkci při základu 10 označujeme místo log

10 x

symbolem log x.

Uvedeme některé důležité převodní vztahy:

32

Úvod

Obr. 1.18: Grafy mocninných funkcí y = xa

a) Nechť je a > 0, potom platí ax = ex ln a ∀x ∈ R

b) Nechť je a > 0, b > 0, přičemž a 6= 1, b 6= 1, potom log

a x =

logb x
logb a

∀x, x > 0

c) Nechť a je číslo, potom platí xa = ea ln x ∀x, x > 0

Goniometrické (nebo také trigonometrické) funkce reálného argumentu (úhlu vy-
jádřeného v obloukové míře) jsou funkce

f (x) = sin x,

f (x) = cos x,

f (x) = tg x,

f (x) = cotg x.

Lze je zavést pomocí jednotkové kružnice takto: