Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

[x − (a + b j)][x − (a − b j)] = [(x − a) − b j][(x − a) + b j] = (x − a)

2 + b2 = x2 + px + q,

– je to polynom druhého stupně s reálnými koeficienty.

Polynom P (x) lze tedy zapsat ve tvaru součinu

P (x) = an(x − xi)

k . . . (x2 + px + q)t . . . ,

kde xi je k-násobný reálný kořen polynomu P (x) a kvadratická rovnice x

2 + px + q = 0

s reálnými koeficienty má komplexně sdružené kořeny (tj. p2 − 4q < 0), tedy polynom
P (x) má t-násobné komplexně sdružené kořeny.

Takové vyjádření polynomu nazýváme rozklad polynomu v reálném oboru.

Příklad 1.43. Máme rozložit v reálném oboru polynom P (x) = x4 − x3 − x + 1.

Řešení.

x

4 − x3 − x + 1 = x3(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x3 − 1) = (x − 1)(x − 1)(x2 + x + 1),

a kvadratická rovnice x2 + x + 1 = 0 má komplexní kořeny, tedy

P (x) = (x − 1)

2(x2 + x + 1).

1.2 Funkce, zobrazení

29

Racionální lomená funkce je dána předpisem

f (x) =

Pm(x)

Qn(x)

,

kde Pm resp. Qn jsou polynomy stupně m resp. n. Je definovaná pro každé x, pro které
je Qn(x) 6= 0.
Jestliže pro stupně polynomů platí m < n, říkáme, že f je ryze lomená ; je-li m ≥ n,
říkáme, že f je neryze lomená racionální funkce. V případě neryze lomené racionální
funkce, tj. pro m ≥ n, podíl Pm(x) a Qn(x) dává po vydělení

Pm(x)

Qn(x)

= N (x) +

˜

Pi(x)

Qn(x)

,

kde

i < n.

Jmenovatel rozložíme v reálném oboru a dostaneme

Pm(x)

Qn(x)

= N (x) +

˜

Pi(x)

an(x − α)k . . . (x2 + px + q)t . . .

.

Taková funkce může vzniknout součtem „ jednoduchýchÿ zlomků, např.: