Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

−1(y

2), f

−1 je tedy

také rostoucí. Podobný výsledek dostaneme pro klesající funkci (viz obrázky k příkladu
1.25). Platí tedy

Věta 1.31. Je-li f ryze monotonní na Df , potom k ní existuje inverzní funkce f

−1, která

je rovněž ryze monotonní a to rostoucí, je-li f rostoucí, a klesající, je-li f klesající.

Příklad 1.32. f : f (x) = 5 −

√

x

je klesající na definičním oboru h0, +∞i, neboť

x1 < x2 ⇒

√

x1 <

√

x2 ⇒

⇒ 5 −

√

x1 > 5 −

√

x2.

Funkce

f

−1 : f−1(y) = (y − 5)2; y ∈ (−∞, 5i

je rovněž klesající (prověřte!) viz obr. 1.14

Obr. 1.14: f(x)=5−

√

x, f −1(x)=(x−5)2

Funkce sudé a liché, funkce periodické

Definice 1.33. Funkci f nazýváme sudou (resp. lichou ), když pro všechna x z Df platí
f (−x) = f (x) (resp. f (−x) = −f (x)).

Leží-li na grafu y = f (x) sudé funkce bod [x, f (x)], leží na něm i bod [−x, f (x)]. Graf
sudé funkce je tedy souměrný podle osy y. Pro lichou funkci f podobně s každým bodem
[x, f (x)], leží na grafu y = f (x) i bod [−x, −f (x)], a tedy graf liché funkce je souměrný
podle počátku souřadnic.

Příklad 1.34.

f : f (x) =

cos x

x2 + 4

; x ∈ (−∞, ∞)

je sudá, neboť

f (−x) =

cos (−x)

(−x)2 + 4

=

cos x

x2 + 4

= f (x)

1.2 Funkce, zobrazení

23

Obr. 1.15: Sudá funkce

f : f (x) =

x2

x4 + 1

sin x; x ∈ (−∞, ∞)

je lichá, neboť

f (−x) =

(−x)2

(−x)4 + 1

sin (−x) =

x2

x4 + 1

(− sin x) = −f (x)

Obr. 1.16: Lichá funkce

Definice 1.35. Funkce f se nazývá periodická , existuje-li číslo p 6= 0 takové, že
f (x ± p) = f (x) pro každé x ∈ Df . Číslo p se nazývá perioda funkce f .