Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad 1.38. Funkce f (x) = x2 je zdola ohraničená na svém přirozeném definičním
oboru R, protože platí

x

2 ≥ 0 ∀x ∈ R,

ale není ohraničená shora – dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existuje c tak, že platí

∀x ∈ R : x

2 ≤ c.

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že c > 1.
Stačí najít jedno reálné číslo x0, pro které tato podmínka neplatí, tedy pro které je x

2
0 > c;

1.2 Funkce, zobrazení

25

položme x0 = c. Potom x

2
0 = c

2 > c.

Naproti tomu funkce f (x) = sin x je ohraničená na svém přirozeném definičním oboru,
protože platí

−1 ≤ sin x ≤ 1

∀x ∈ R.

Elementární funkce

V této části uvedeme souhrnný přehled a základní vlastnosti tzv. elementárních funkcí
– základních reálných funkcí reálné proměnné, které jsou vám vesměs známy ze střední
školy, se kterými budeme dále pracovat (a které jsme ostatně již vyšetřovali v předchozím
textu):

Polynomem nazýváme funkci f definovanou na R předpisem

f (x) = anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · + a

1x + a0,

kde a0, a1, . . . , an jsou reálná čísla, an 6= 0. Číslo n se nazývá stupeň polynomu. Pro
polynom n-tého stupně používáme obvykle označení Pn.

Polynom stupně 0, tedy funkce f definovaná na R předpisem

f (x) = c,

kde c je reálné číslo, se nazývá konstanta.

Je-li funkční hodnota polynomu v čísle x0 rovna nule, tedy platí-li

anx

n
0 + an−1x

n−1
0

+ · · · + a1x0 + a0 = 0,

nazývá se číslo x0 kořenem polynomu.

Uvedeme některé důležité vlastnosti polynomů a jejich kořenů:

• Základní věta algebry: Každý polynom stupně n ≥ 1 má alespoň jeden kořen.

• Věta Bézoutova: Číslo x0 je kořenem polynomu Pn stupně n ≥ 1, právě když platí