Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Je-li tedy některé číslo x0 kořenem daného polynomu (na posledním místě druhého

řádku vyšla jako jeho funkční hodnota nula), můžeme ve výpočtu Hornerovým schématem
dále pokračovat – hledat funkční hodnotu polynomu získaného po vydělení příslušným
kořenovým činitelem:

Příklad 1.42. Máme vypočítat funkční hodnotu polynomu

P (x) = x

7 − 6x6 − x5 + 70x4 − 120x3 − 112x2 + 432x − 288 pro x = 2.

Je-li x = 2 kořen polynomu P , máme určit jeho násobnost.

Řešení.

2|

1 −6

−1

70 −120 −112 432 −288

1 −4

−9

52

−16 −144 144

0

1 −2 −13

26

36

−72

0

1

0 −13

0

36

0

1

2

−9

−18

0

1

4

−1 −20

Vidíme, že x = 2 je čtyřnásobným kořenem polynomu P (čtyřikrát nám na posledním
místě jako funkční hodnota vyšla nula, po páté již ne), přičemž ve druhém řádku zdola
jsou koeficienty příslušného podílu, tj. platí

P (x) = (x − 2)

4Q(x) = (x − 2)4(x3 + 2x2 − 9x − 18).

28

Úvod

Chceme-li najít všechny kořeny polynomu P , stačí hledat kořeny polynomu Q. Jestliže
jsou celočíselné, musí dělit absolutní člen – v úvahu tedy přichází x = −2, ±3, ±6, ±9.
Vypočítáme příslušné funkční hodnoty pomocí Hornerova schématu:

−2|

1 2 −9 −18
1 0 −9

0

Číslo x = −2 je tedy kořen a příslušný podíl q1(x) = x

2 − 9. Odtud plyne, že zbývající

kořeny jsou x = ±3 a platí

P (x) = (x − 2)

4(x + 2)(x − 3)(x + 3).

Maplet na Hornerovo schéma je zde.
Víme, že každý polynom (s reálnými koeficienty) Pn(x) = anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · +

+ a1x + a0 se dá vyjádřit ve tvaru součinu kořenových činitelů

Pn(x) = an(x − x1)(x − x2) · · · · · (x − xn),

kde x1, x2, . . . , xn jsou kořeny polynomu Pn (pro k-násobný kořen xi se v součinu výraz
(x − xi) vyskytuje k-krát). Přitom má-li polynom komplexní kořen a + b j, má také kom-
plexní kořen a − b j a součin příslušných dvou kořenových činitelů je roven